机械工程制图网络课程-§4.2相交关系

    直线与平面或平面与平面如不平行,则一定相交。直线与平面只能相交于一点，而平面与平面相交于一直线。如何求出交点和交线的投影作图，是本节重点解决的问题。
    直线与平面交于一点，该点是直线与平面的共有点，即在直线上，又在平面上。而平面与平面相交于一直线。这条直线为两平面共有，因此，如果能设法找出两平面的两个共有点，或是一个共有点和交线的方向，就可以求出两平面的交线。

1 直线或平面与特殊位置面相交

    特殊位置平面总有一个投影具有积聚性，因此当直线或平面与特殊位置平面相交，利用特殊位置平面投影的积聚性和交点的公有性，交点的一个投影可直接确定，另一个投影可用在直线或平面上取点的方法求出。

11 直线与特殊位置平面相交
    在图4-11中，一般位置直线EF与水平面相交，因交点是平面上的点，它的正面投影必在a'b'c'上；交点又是直线EF上的点，它的正面投影也必在e'f'上。因此e'f' 与a'b'c'的交点k'便是交点K的正面投影。由于K点在直线EF上，可通过k'在ef上找出对应的水平投影k。点K（k',k）即为直线EF与水平面ABC的交点。
    为了加强图形的清晰性，图中常用粗实线和虚线分别表示直线可见与不可见部分的投影。其可见性则利用重影点加以判别。
在图4-11（b）中，因平面的正面投影有积聚性，故不必判断其可见性。在水平投影中，显然ef和△abc相重合的部分才产生可见性的问题，并且点k是可见与不可见部分的分界点。这里只有两种可能：FK在平面ABC之上而KE在下面；或者相反。图中BC和EF是交叉两直线，而ef和bc交于点1（2），在e'f'及b'c'上分别求出1'和2'，点Ⅰ，Ⅱ即是位于铅垂线上的一对重影点。可以看出：位于EF上的点Ⅰ较BC上的点Ⅱ的z坐标值大，因此在水平投影中，fk可见，ke被△abc遮住的部分为不可见。

图4-11 直线与平面相交

    若直线AB与铅垂面P相交（图4-12），因PH有积聚性，故PH与ab的交点k即为交点K的水平投影，然后在a'b'上找出点K的正面投影k'。迹线平面的可见性，一般不加判别。

图4-12 直线与铅垂面相交

 1.2 平面与特殊位置平面相交

    当相交两平面均匀为特殊位置平面时，一般都可根据其有积聚性的投影分析出交线的位置和方向。作图时，主要是确定交线投影的长度。图4-13表示正垂面□DEFG与水平面△abc相交，由于它们的正面投影均有积聚性，且交于点n'(m')，所以该点必为交线的正面投影，并可断定交线必为正垂线，其水平投影为mn。交线的投影长度应在两平面的重影范围之内。图中的虚线表示平面上不可见轮廓线的投影。
    当相交两平面之一为一般位置平面时，可选该平面内任意两条直线与特殊位置平面相交，求出两个交点，即可确定交线的位置和方向。图4-14表示一般位置平面□DEFG与水平面△abc相交。因为平面△abc的正面投影有积聚性，所以可直接求出平面□DEFG的两边DG和EF与平面△ABC的交点M（m，m'）和（n，n'）。连接MN即为两平面的交线。

图4-13 水平面与正垂面相交	图4-14 一般位置平面与水平面相交

 2 线或平面与一般位置平面相交

    当直线、平面均为一般位置时，其交点、交线不能直接求出，可以通过辅助平面来求出。

2.1 直线与一般位置平面相交
    当直线为平行线或一般 置直线时，由于直线和平面都没有积聚性，所以不能直接确定交点的投影，需要通过作辅助平面来解决。图4-15（b）表示一般位置直线AB与一般位置平面△DEF相交。从4-15（a）中可以看出，交点K是平面△DEF上的点，它一定在平面△DEF平面内的某一直线上，例如在MN上，这样，过交点 直线MN和已知直线AB就构成了辅助平面R。显然，直线MN就是辅助平面R和平面△DEF的交线。交线MN与已知直线AB的交点K即为直线AB与平面△DEF的交点。
根据上述分析，可按照如下步骤求出交点：
（1） 包含直线AB作辅助面，为了作图简便，通常选用特殊位置平面作为辅助面，如包含直线AB作铅垂面R（图6-16，c），其水平轨迹RH与ab重合，正面轨迹Rv与OX轴垂直，因作图过程中Rv无用，故常省略不画；
（2） 求出辅助平面R与平面△DEF的交线MN（mn，m' n'），如图4-15（d）；
（3） 求出MN与直线AB的交点K（k,k'），即为所求的交点（图4-15，e）。
求出交点后，还应根据重影点Ⅰ，Ⅱ和Ⅲ，Ⅳ分别判别直线AB在正面投影和水平投影中的可见性，如图4-15（f）所示。

图4-15 用辅助平面法求直线与平面的交点

2.2 平面与一般位置平面相交
    因为两一般位置平面的投影（或迹线）均无积聚性，所以它们相交时，不能直接确定交线的投影，而要通过辅助作图才能求得。
（1）利用"直线与一般位置平面求交点"的方法求两平面的交线。由于某一平面上的直线对另一平面的<点必为两平面的共有点，即交线上的一点。所以只要求出两个交点并连接其同面投影，即得两平面交线投影。图4-16（a）所示为△ABC和平面△DEF相交。两三角形共有六条边，从图中可以看出，AB，BC和EF三边在两个三角形的有限范围内没有交点，因此可在其余三边中确定两边（如DE和DF），并求得它们与平面△ABC的两个交点，连线即为两平面的交线。其作图步骤如下（图4-16，b）：

①包含直线DE作辅助正垂面R，并与平面△ABC的交于直线ⅠⅡ。ⅠⅡ与DE相交于点N，点N（n,n'）即为交线的一个端点；
②包含直线DF作辅助正垂面Q，同样可求出DF与平面△ABC的交点M，点M（m，m'）即为交线的另一端。
③连接MN（mn，m'n'）即为所求之交线。
关于两重影部分的可见性，如图4-16（c）所示。图中通过Ⅲ，Ⅳ(3,4)两点判别水平投影中的可见性，通过Ⅴ，Ⅵ(5,6)两点判别正面投影中的可见性。

图4-16 利用求线面交点的方法作两平面的交线

（2）利用"三面共点"的方法求两平面的交线。在图4-17中两平面△ABC与△DEF在有限范围内不相交。为了求出它们的交线，可作辅助平面P与两平面分别相交于1,2和3,4，由于这两条交线在同一平面内，因此将它们延长后一定相交于一点M，且点M必为平面△ABC与△DEF的共有点。用同样的方法再作辅助平面Q，可求出另一共有点N。连接直线MN即为所求的交线。其投影图的作法如图4-17所示。MN为两平面扩大后的交线位置，故不必判别投影的可见性。
 

图4-17 利用三面共点法的方法求两平面的交线

　　两平面相交，其交线是两平面的共有线，而且是直线。求作交线的方法是：①求出两个共有点；②求出一个共有点和交线的方向。交线的投影求出后，还需判别两平面重影部分的可见性。
　　当空间两平面用迹线表示，且同面迹线又在图纸内相交时，其同面迹线的交点必为两平面的共有点（此时投影面相当于辅助面）。如图4-18中P、Q两平面的两对迹线相交于M和N点，直线MN即为P、Q两平面的交线。

 

图4-18 两一般位置迹线平面相交