机械工程制图网络课程-§3.3面的投影

1.1 几何元素表示法
    通常用一组几何元素的投影来表示空间一个平面。几何元素的形式，如图3-18所示，常见的有如下的几种，：
    (1)不在一直线上的三点；
    (2)一直线和直线外的一点；
    (3)相交两直线；
    (4)平行两直线；
    (5)任意平面图形。

图3-18 平面的表示法

1.2 迹线表示法
    平面与投影面的交线称为平面的迹线。通常把用迹线表示的平面称为迹线平面。平面P与投影面V、H、W的迹线分别用PV、PH、PW表示，如图3-19所示。两迹线相交的交点PX、PY、PZ称为迹线集合点，它们分别位于OX、OY、OZ轴上。在实际应用中，特殊位置平面通常用平面的一条具有积聚性的迹线来表示。

图3-19 平面的迹线表示法

2.平面的投影特性

    平面的投影特性是由其对投影面的相对位置决定的。平面对投影面的相对位i有三种：投影面垂直面、投影面平行面、一般位置平面。其分类情况如表3-1所示。平面对投影面H、V、W的倾角依次用α、β和γ表示。

图3-6 平面的投影特性

 2.1 投影面垂直面
    投影面的垂直面是指垂直于一个投影面，而与其他的投影面倾斜的平面，分为正垂面（垂直于V面）、铅垂面（垂直于H面）、侧垂面(垂直于W面)，如表所示。

表3-6 投影面的垂直面的投影特性

种类 立体图 投影图 投影特性 铅垂面 1. 在与平面垂直的投影面上，其投影积聚为一倾斜线段。 2. 其余两个投影都是小于实形的类似形。 正垂面 侧垂面

 2.2投影面平行面
　　投影面的平行面是指平行于一个投影面，且垂直于其他的投影面，分为正平面（平行于V面）、水平面（平行于H面）、侧平面(平行于W面)，如表所示。

表3-7 投影面的平行面的投影特性：

种类 立体图 投影图 投影特性 正平面 1. 在与平面平行的投影面上，其投影反映实形。 2. 其余两个投影分别为水平线段或垂直线段，且都具有积聚性。 水平面 侧平面

2.3一般位置平面
    对三个投影面均处于倾斜位置的平面称为一般位置平面。

表3-8 一般位置平面的投影特性

种类 立体图 投影图 投影特性 一般位置平面 一般位置平面S的投影，由于它对三个投影面都是倾斜的，因此，一般位置平面的三个投影（ s、s′、s ″）都是小于实形的类似形。

3.平面内的直线与点

3.1平面内直线
    根据立体几何定理可知，直线在平面内的条件是：
    (1)通过平面内的两点；
    (2)通过平面内一点并平行于平面内的另一直线。
    例3-6：如图3-21(a)所示，已知四边形ABCD为平面图形补全正面投影。
    分析：补全ABCD正面投影即求D的正面投影d'，因此需要找出一条直线，该直线属于ABCD同时D点又在其上。
    作图过程:
    (1)连接bd与ac,交于m点；
    (2)连接a′c′，求出M点的正投影m′;　　
    (3)连接b′m′并延长,求出D点的正投影d′;
    (4)连接a′d′,d′c′,完成作图,如图3-21(b)所示。

(a)	(b)
图3-21 补全正面投影

3.2 平面内点
　　根据立体几何定理可知，点在平面内的条件是：点在该平面内的一条线上r因此，在平面内作点，一般情况必须先在平面内作一辅助直线，然后再在此直线上作点。
　　例3-7：已知点D在△ABC平面内，求作其水平投影d（图3-22(a)）。
　　分析：由于点D在△ABC内，所以它必定在△ABC内的一条直线上。
　　作图过程:如图3-22(b)所示r

(a)	(b)
图3-22求作其水平投影

    例3-8：已知两个平行直线AB、CD组成一个平面，判断点E、F是否在平面内（图3-23）。
    分析：点在平面内的条件是：点在该平面内的一条线上。因此，在平面内作点，一般情况必 先在平面内作一辅助直线，然后再判断点E、F是否在平面内。
    作图过程:
    (1)过点f′作直线f′n′,交c′d′和a′b′于m′,n′点；
    (2)作m′,n′的水平投影m,n，可以判断直线MN在平面内;　　
    (3)因为F在直线MN上，可以判断F在AB、CD组成平面内;
    (4)同理作图,可以E判断不再AB、CD组成平面内，如图3-23(b)所示。

(a)	(b)
图3-23 判断点E、F是否在平面内

4.平面内特殊位置直线

4.1平面内的投影面平行线
    平面内平行于投 面的直线称为平面内的投影面平行线，见图3-24。由于平面内的直线可分别平行于H、V和W面，因此，平面内的投影面平行线分为：　
    平面内的水平线、平面内的正平线和平面内的侧平线。　
    平面内的投影面平行线除具有投影面平行线的投影性质外，还与所在平面保持从属关系。因此，在平面内作平行线时，应先作出平行于投影轴的投影，然后再按线与面的从属关系作出其它投影。

图3-24 平面内的投影面平较

     例3-9：试在三角形ABC平面内过点A作水平线AD、正平线AE。（图3-25）。
     分析：因水平线的正面投影平行于OX轴，为此，首先应过A点的正面投影a'作所求水平线AD的正面投影a'd'，然后再作它的水平投影。正较逜E同理。
     作图过程:
     (1)过a'作a'd'平行OX、与b'c'交于d'点；；
    (2)求出D点的水平投影d，连ad。　
    (3)同理作图得到正平线AE，如图3-25(b)所示。

图3-25 投影

4.2 平面内对投影面的最大斜度线
    平面内垂直于该平面内任意一条投影面平行线的直线，称为平面内对相应投影面的最大斜度线。平面内对投影面的最大斜度线可分为三种：
    垂直于平面内水平线的直线，是平面内对水平面的最大斜度线。
    垂直于平面内正平线的直线，是平面内对正立面的最大斜度线。
    垂直于平面内侧平线的直线，是平面内对侧立面的最大斜度线。
    最大斜度线是平面内对相应投影面成最大角度的直线。〔图3-26所示〕

    平面P与水平面H成倾斜位置，迹线为PH。
    设平面P内的直线AB垂直于该平面内的任一水平线MN，必也垂直于水平迹线PH，AB便是平面P内的对H面的最大斜度线。设AB与H面的倾角为∠ABC=α。现过点A在平面P内任作一直线AD，它与H面的倾角为∠ADC=α1。比较两个直角三角形△ABC与△ADC，AC为两三角形的公共直角边，由AB⊥PH及一边平行于投影面的直角投影性质，有CB⊥PH，在直角三角形CDB中，CD是斜边，所以CD＞CB，α＞α1。因此可证，平面内垂直于其水平线的直线AB对H面的倾角最大，也即直线AB为对H面的最大斜度线。

同理可证，垂直于平面内正平线的直线对V面的倾角最大，垂直于平面内侧平线的直线对W面的倾角最大。 　　根据立体几何中两面角的定义可知，平面角α就是平面P与H面的两面角，也即是平面P对H面的倾角，而这个倾角恰是最大斜度线AB对H面的倾角。因此，利用平面内的最大斜度线便可求出平面以投影面的倾角。
	图3-26 平面内对H面的最大斜度线

     例3-10　求三角形ABC对H面的倾角。〔图3-27（a）〕
     分析　欲求平面对H面的倾角，需先求出该平面内对H面的最大斜度线，然后再求出该直线对H面的倾角即可。见图3-27（b）。
     作图过程:　
    (1)过点A在三角形ABC中作水平线AM（a'm'、am）；
    (2)过b作bd⊥am交ac于d,并求出d'，则BD（b'd'、bd）为平面内对H面的最大斜度线；
    (3)用直角三角形法求出BD对H面b倾角α，α即为三角形ABC对H面的倾角。见图3-27（c）。

图3-27 求三角形ABC对H面的倾角