画法几何及工程制图_辅导教程（三）

第二章  投影作图

§2—1投影的概念

一、投影在灯光或太阳光照射物体时，在地面或墙上酒会产生与原物体相同或相似的影子，人们根据这个自然现象，总结出将空间物体表达为平面图形的方法，即投影法在投影法中：投影线——在投影法中，向物体投射的光线，称为投影线；            投影面——在投影法中，出现影像的平面，称为投影面；            投影———在投影法中，所得影像的集合轮廓则称为投影或投影图。二、投影法的分类投影法依投影线性质的不同而分为两类：1．中心投影法投影线由由投影中心的一点射出，通过物体与投影面相交所得的图形，称为中心投影。投影线的出发点称为投影中心。这种投影方法，称为中心投影法；螦得的单面投影图，称为中心投影图。如图2—1所示。由于投线互不平行，所得图形不能反映提的真实大小，因此，中心投影不能作为绘制工程图样的基本方法图2—1中心投影法 图2—2平行投影法（a）                   图2—3平行投影法（b） 2．平行投影法如果将投影中心移至无穷远处，则投影可看成互相平行的通过物体与投影面相交，所得的图形称/平行投影；用平行投影线进行投影的方法称为平行投影法。在平行投影法中，根据投射方向是否垂直投影面。 平行投影法又可分为两种，（1）斜投影法：投影方向（投影线）倾斜于投影面，称为斜角投影法；（2）直角投影法：投影方向（投影线）垂直于投影面，称为直角投影法，简称正投影法。如上图所示。正投影法是工程制图中广泛应用的方法。3．轴测投影轴测投影是用平行投影法在单一投影面上取得物体立体投影的一种方法。用这种方法获得的轴测图直观性强，可在图形上度量物体的尺寸，虽然度量性较差，绘图也较困难，仍然是工程中一种较好的辅助手段。以后将有一章专门讲解有关部门轴测图的基本知识。三、正投影的基本特性                      图2—4正投影特性 以对直线、平面进行正投影来说明其特性，如图2—4所示。1．真实性当直线或平面图形平行于投面时，投影反映线段的实长和平面图形的真实形状；2．积聚性当直线或平面图形垂直于投面时，直线段的投影积聚成一点，平面图形的投影积聚成一条线；3．类似性当直线或平面图形倾斜于投面时，直线段的投影仍然是直线段，比实长短；平面图形的投影仍然是平面图形，但不反映平面实形，而是原平面图形的类似形。由以上性质可知，在采用正投影画图时，为了反映物体的真实形状和大小及作图方便，应尽量使物体上的平面或直线对投影呒处于平行或垂直的位置。四、三个投影面的建立（三面投影体系的建立）如图2—5所示是三个形状不同的物体八们在同一个投影面上的投影是相同的。很明显若不附加其它说明，仅凭这一个投影面上的投影，是不能表示物体的形状和大小的。                          图2—5一个投影不能确定物体的形状 1．三个投影面的建立一般需将物体放置在如图2—6的三面投影体系中，分别向三个投影面进行投影，然后将所得到的三个投影联系起来，互相补充即可反映出物体的真实形状和大小。图2—6三面投影体系 2．三投影面名称正投影面——正立着的面，简称正f影面或V面，水平投影面——水平的面为水平投影面，简称水平面或H面，侧投影面——册立着的面为侧投影面，简称侧面或W面。在三投影面中：OX轴——V面和H面的交线，              OY轴——H面和W面的交线，OZ轴——V面和W面的交线，              坐标原点——OX、OY、OZ三轴的交点。五、三视图的形成按照正投影法绘制出物体的投影图，又称为视图。为了得到能反映物体真实形状和大小的视图，将物体适当地防止在三面投影体系中，分别向V面、H面、W面进行投影美丽V 面上得到的投影称为主视图；在H面上得到的投影称为俯视图；在W面上得到的投影称为左视图。三视图的形成工程如图2—7（a）所示。为了符合生产要求需要把三视图画在一个平面内，即把三个投影面展开，如图2—7（b）所示。展开方法：V面不动，H面绕OX轴旋转90⁰，W面绕OZ轴旋转90⁰，使H、W面与V面形成同一平面。在旋转工程中，需将OY轴一分为二，随H面的称为OY_H，随W面的OY_W。展开后的三视图，如图2—7（c）妒尽Ｖ档米⒁獾氖牵涸谏产中不需要画出投影轴和表示投影面的边框，视图按上述位置布置时，不需注出视图名称，如图2—7（d）所示。六、三视图的投影关系从三视图的形成工程和投影面展开的方法中，可明确以下关系：1．位置关系俯视图在主视图的下边，左视图在主视图的右边；                            图2—7三视图的形成2．方位关系任何物体都有前后、上下、左右六个方位。而每个视图只能表示其四个方位，如图2—8所示。在三视图中，主、左视图表示物体的上、下；主、俯视图表示物体的左、右；俯左视图表示物体的前后。靠近主视图的一面是物体l后面，远离主视图的一面是物体的前面图2—8 三视图与物体的方位关系3．三等关系任何物体都有长、宽、高三个尺度，若将物体左右方向（X方向）的尺度称为长，上下方向（Z方向）尺度称-高，前后方向（Y方向）尺度称为宽，则在三视图上（如图2—9所示）主、俯视图反映了物体的长度，主、左视图反映了物体的高度，俯、左视图反映了物体的宽度。归纳上述三视图的三等关系是：主、俯上对正，主、左高平齐，俯、左宽相等。简称为三视图的关系是上对正，高平齐，宽相等关系。（注意：不仅物体整体的三视图符合三等关系，物体上的没一部分都应符合三等关系。图2—9三视图的三等关系§2—2点的投影空间物体都是由面围成的，而呒可视为线的轨迹，线则是点的轨迹，所以点是最基本的集合元素。学习和掌握集合元素的投影规律和特性，才能透彻理解工程图样所表示物体的具体结构形状。一、点的投影和三面投影规律点的投影仍然是点，如图2—10所示，设：空间有一点A，自A分别向三个投影蹲鞔瓜撸即投影线），得三个垂足、。、、分别表示A点在H面、V面、W面的投影。（通常规定空间点用大写字母如：A、B、C……等表示，其投影用响应的小写字母，如、、……等表示）见上图。这样，A点到W 面的距离为A点的X坐标，A点到V 面的距离为A点的Y坐标，A点到H 面的距离2A点的Z坐标。若用坐标值确定点的空间位置时，可用下列规定书写形式：A=（X_A，Y_A，Z_A），  B=（X_B，Y_B，Z_B）………。                图2—10点的三面投影由作图可知，⊥H面，⊥V面，⊥W面。则通过所作的平面P必然同时垂直于H面和V面，当然，也垂直于H=与V 面的交线OX轴，它与OX轴的交点用表示，显然A_x是一矩形，同理A_y和A_z也是矩形。这三个矩形平面都与响应的投影轴相交，且是正交，并与三个投影面的响应矩形围成一长方体。因为长方体中相互平行棱线长度相等，故可得点与三个投影面的关系为：=_y=_z=_x（均为坐标X_A）=_x=_z=_y（均为坐标Y_A）=_x =_y=_z（均为坐标Z_A）可见，空间点在某一投影面上的投影，都是由u点的两个坐标值决定的。点由o_x和o_y，即A点的X_A，Y_A两坐标决定；点由o_x和o_z，即A点的X_A，Z_A两坐标决定；点由o_y和o_z，即A点的Y_A，Z_A两坐标决定。如图2—10（a）所示，将三投影面展开，使其与V面成同一平面。为便于进行投影分析，用细实线将点的两面投影连接起来得到和（称为投影连线），分别与X、Z轴相交于_x和_z点。由于Y轴展开后分为Y_h和Y_w，在作图时，一种方法是采用以O点为圆心画弧y_H和y_w，如图2—10（b），另一种方法是自O点作45⁰斜线，再从y_H引Y轴的垂线与45⁰斜线得交点，再从此点引Y_w的垂线与由引出的Z轴的垂线交点，即为点。注：在投影面o通常住画出投影轴，不画投影面的边界，如图2—10（c）所示。按照点与三投影面关系，由立体展开成平面，可得出点的三面投影规律：1．点的正投影和水平投影的连o垂直于X轴，即⊥OX两投影都反映横坐标，表示空间点到侧投影面的距离。即：⊥OX，_z=_yH=X_A。2．点的正面投影和侧面投影的连线垂直于Z轴，这两个投影都反映空间点的Z坐标，即便表示点到水平面的距离。⊥Z轴，_x=_yw=Z_A。3．点的水平投影到X轴的距离等于其侧面投影1Z轴的距离，这两个投影都反映空间的Y坐标，表示空间点到正投影面的距离：_x=_z=Y_A。显然，点的投影规律和前面所讲的三视图的画图规则“长对正、高平齐、宽相等”是一致的。应用：（1）根据点的投影规律，可由点g三个坐标值X、Y、Z画出其三面投影图。     （2）也可根据点的两面投影图作出第三投影图。例题1：已知：A（20，10，35）求作：A点的第三面投影例题2：已知：点的两面投影       求作：点的第三面投影例题3：已知A、B两点的两面的投影       求作：第三面投影并确定其相对位置解：∵X_B＞X_A，∴B点在左，A点在右∵Z_A＞Z_B， ∴A点在上，B点在下∵Y_A＞Y_B， ∴B点在后，A点在前总的结论：A点在B点的右前上方，B点在A点的左后下方。其它的例题自学。二、两点的相对位置和重影点1．两点的相对位置根据相对于投影面的距离确定如图2—11所示。（1）距离W面远者在左，近者在右（根据V、H的投影分析）；（2）距离V面远者在前，近者在后（根据H、W面的投影分析）；（3）距离H面远者在上，近s在下（根据V、W面的投影分析）图2—11两点的相对位置2．重影点当两点的某个坐标相同时，该两点将处于同一投影线上，因而对某一投影面具有重合的投影，则这两个点的坐标称为对该投影面的重影点。在投影图上，如果两个点的投影重合，则对重合投影所在的投影面的距离（即对该投影面的坐标值）较大的那个点是可见的，而另一个点是不可见的，应将不可见的点用括弧括起来，如图2—12中的（b）点的投影。如图2—12所示，∵A、B两点到V面、W面的距离相等，所以A、B两点在H面投影重合，故称A、B两点为对H面的一对重影点，B点在H面的投影不可见。图2—12重影点的投影§2—3直线的投影空间两点确定一条空间直线段，空间直线段的投影一般仍为直线，如图2—13所示将直线AB向H面投影，因为线段上的任意两点可以确定线段在空间的位置，所以直线段上两端点A、B的同面投影a、b的连线就是线段在该面上的投影。图2—13空间线段的投影一、直线段对于一个投影面的投影空间直线段对于一个投影面的位置有倾斜、平行、垂直三种。三种不同的位置具有不同的投影特性。1．收缩性当直线段AB倾斜于投影面时，如图2—14（a），它在该投影面上的投影长度比空间AB 线段缩短了，这种性质称为收缩性。2．真实性当直线段AB平行于投影面时，它在该投影面上的投影与空间AB线段相等，这种性质称为真实性。如图2—14（b）。3．积聚性当直线段AB垂直于投影面时，它在该投影面上的投影重合于一点，这种性质称为积聚性。如图2—14（c）。图2—14线段的投影特性二、直线段在三面投影体系中的投影特性图2—15投影面的平行线空间线段因对三个投影面的相对位置不同，可分为三种：投影面的平行线，投影面的垂直线，投影面的/般位置直线（倾斜线）前面两种称为特殊位置直线，后一种称为一般位置直线。1．投影面的平行线平行于一个投影面，而对另两个投影面倾斜的直线段，称为投影面平行线。正平线——平行于V面的直线段；水平线——平行于H面的直线段；侧平线——平行于W面的直线段如图2—15所示，列出了三种投影面的平行线的投影特点和性质。以水平线为例：按照定义，它Ｐ杏贖面，线上所有点与H面的距离都相同，这就决定了它的投影特性是：（1）AB 的水平投影=AB ，即反映实长；（2）正面投影平行于OX轴，即∥OX轴；（3）侧面投影平行于OY_w轴，即∥OY_w轴；（4）水平投影与OX 轴的夹角，反映该直线对V面的倾角β；水平投影与OY轴的夹角，反映该直线对W面的倾角γ。其它二投影面平行线的分析同上。投影面平行线的投影特性概括为：如图2—15所示，（1）在直线段所平行的投影面上的投影反映实长，且其投影与投轴的夹角反映直线与另两投影面的倾角；（2）另两投影面平行于相应的投影轴（构成所平行的投影面的两根轴）。投影面平行线的辨认：（1）闹毕叩耐队坝辛礁銎叫杏谕队爸崾保（2）第三投影与投影轴倾斜时，则该直线一定是投影面的平行线，且一定平行于其投影为倾斜线的那个投影面。2．投影面垂直线   垂直于一个投影面，即与另两个投影面都平行的直线段，称为投影面的垂直线。投影面垂直线有三种：铅垂线——直线⊥H面；正垂线——直线⊥V面；侧垂线——直线⊥W面。图2—16列出了三种投影面垂直线的投影特点及性质。投影面垂直线的投影特性概括为：（1）在所垂直的投影面貌上的投影积聚为一点；（2）在另外两个投影面上的投影，垂直于相应的投影轴，且反反应直线段的实长。如何判断投影面的垂直线？根据投影面垂直线的投影特性来判断即可。图2—16垂直线3．一般位置直线由直线段对一个投影面的投影特性可知，当直线倾斜于投影面时，它在投影面上的投影的长度比空间线段的长度缩短了，具有收缩性，如图2—17所示。此特性对于在三面投影体系中的倾斜（一般位置）线段同样适用，因而，同理可得在三面投影体系中它的投影特性为：（1）三个投影都是一般倾斜线段，且都小于线段的实长；（2）三面投影都与投影轴倾斜，投影与投影轴的夹角，均不反应直线段对投影面的倾角。图2—17一般位置直线的投影判断：若直线段的投影与三个投影轴都倾斜，可判断该直线为一般位置直线。三、求一般位置直线的实长及对投影面的倾角一般位置直线的投影不能反应其时常及其对投影面的虢牵因此，若求其时常及其对投影面的倾角时有两种方法：一是利用直角三角形法，二是利用换面法。1．利用三角形法求直线段的实长及与投影面的倾角如书中图2—18（a）中，在由直线AB及其对H面的投影线所形成的平面Abba上的直角三角形ABC中可知，其两直角边分别为：AC=ab、BC=Z_B－Z_A，R而斜边AB即为实长，该直线对H面的倾角∠BAC=，α，而B、A点的高度民主坐标差，可从、中得到。由此，通过一般的几何作图便可得到如图2—18（c）或（dt所示，求直线段的实长及对投影面倾角了。作图方法：（1）以水平投影ab为一直角边，以正投影的坐标为另一直角边（Z_B－Z_A），作一直角三角形，该直角三角形可以画在原投影之外，也可以画在原投影之内。（2）三角形的斜边即为实长，斜边（实长）与水平投影的夹角即为α。用同样的方法，即可求出β角γ角：=Z_B－Z_C（Z_A）    ∠α=Y_A－Y_D（Y_B）    ∠β=X_A－X_E（X_B）     ∠γ(a)          (b)                        (c)                      (d)图2—18直角三角形法求空间直线段的实长和倾角四、直线上点的投影从图2—19（a）可以看出，点在直线实长的几何条件及投影特性：1．直线上点的投影必定在该直线的同面投影上。K点的投影、、分别在、、上。2．同一直线上两线段长度之比等于其投影长度之比。由于对同一投影面面的投影面线互相平行，因此：=== 。由直线有积聚性的投影面特性可知：（1）如果点在已知直线上，则根据点的一个投影面（头版头条面垂直线有积聚性的投影面除外），求出它的另外两个投影面，如上图（c）所示；（2）也可通过作第三面投影的方法求得；（3）也可如图所示，通过a作一辅助线，在该线上量取：_o=，_oo=，然后连接B_ob，并通过_o作_o∥B_ob交于ab上的k点，即为所求。        （a）                         （b）                    （c）图2—19直线上点的投影五、两直线的相对位置图2—20两直线的相对位置1．平行两直线（1）平行两直线的所有同面投影面都互相平行；（2）反之若两直线的同面投影均互相平行，则空间两直线必定互相平行；（3）判定方法：（a）一般情况下，只要看他们的两个同面投影是否平行就可以了；              （b）特殊情况，当两直线为某一投影面平行线时，则需根据他们在所平行的那个投影面上的是否平行才能判定。2．相交两直线（1）若空间两直线相交，则它们的所有同面投影都相交，且各同面投影的交点之间的关系符合点的的规律。这是因为交点是两直线的共有点，如图2—20所示；（2椒粗，若两直线的各同面投影都相交，且交点的投影符合点的投影规律，则该两直线必相交；（3）特殊情况：当直线为某一投影面平行线时，它们是否相交需进一步判断之。通常有两种方法：（a）用定比方法判定；（b）用两条直降牡谌投影来判定。3．交叉两直线如图2—20，交叉两直线的同面投影可能相交，但各投影的交点不符合点的投影规律。交叉两直线上对该投影面的一对重影点的投影。可用它来判断这两直线的相对位置。4．直角投影定理（1）定理：a）空间两条互相垂直的直线，如果其中一条为某一投影面的平行线，则它们在该投影面上的投影仍互相垂直；           b）逆定理也成立；           c）垂直交叉绷街毕呷跃哂猩鲜鎏匦浴（2）定理的应用：（P22）§2—4 平面的投影由初等几何学可知，不在碧踔毕呱系娜点、一条直线和线外一点、两平行直线、两相交直线可决定一平面；在投影图上可利用几何元素来表示平面。但是形体上任何一个平面图形都有一定的形状、大小和位置。从形状上看，常见的平面图形有三角形、矩形、正多边形等直线轮廓的平面图形。平面的表示方法1．不在一条直线上的三点；       2．一条直线和线外一点；3．两平行直线；4．两相交直线；5．任意一平面图形。图2—21几何元素表示平面平面形在三面投影体系中的特性平面形的投影一般仍为平面形，特殊情况下为一条直线。平面形投影的作图方法是将图形轮廓线上的一系列点（多边形则是其顶点）向投影面投影，即得平面形投影。亟切问亲罴虻サ钠矫嫘危如图2—25所示，将△ABC三顶点向三投影面进行投影的直观图和三面投影图。其各投影即为三角形之各顶点的同面投影的连线。其它多边形的作法与此类似。又此可见，唨平面形的投影，实质上仍是以点的投影为基础而得的投影。图2—22一般位置平面的投影图2—23投影面平行面的投影特性平面形在三面投影体系中的位置可分为三种：1．一般位置平面——对于三个投影面都倾斜平面 对三个投影面都倾斜的平面，称为一般位置平面l如图图2—22所示。一般位置的三角形平面的投影情况，由于它对三个投影面都倾斜，所以三个投影仍为三角形，且不反映实形，都比实形缩小了。由此得到一般位置平面的投影特性：（1）类似性——在三个投影面上的投影均为相仿的平面图形，且形状缩小；（2）判断——平面的三面投影都是类似的几何图形，该平面一定是一般位置平面。2．投影面平行面——平行于一个投影面的平面平行于一个投影面也即同时垂直于其它两个投影面的平面，称为投影面平行面。如图2—23所示，投影面平行面有三种：水平面（eH面）、正平面（∥V面）、侧平面（∥W面）。三种投影面平行面的投影特征：（1）真实性——如平面用平面形表示，则在其所平行的投影面上的投影，反映平面形的实形；（2）积聚性——在另外两个投影面上的投影为直线段（有积聚性）且平行于相应的投影轴；（3）判断——若在平面形的投影中，同从辛礁鐾队胺直鸹聚成平行于投影轴的直线，而只有一个投影为平面形，则此平面平行于该投影所在的那个投影面。该平面形投影反映该空间平面形的实形。2．投影面垂直面——垂直于一个投影面的平面图2—24投影面垂直面的投影特性仅垂直于一个投影面，而与另外两个投影面倾斜的平面，称为投影面垂直面。如图2—24所示。投影面垂直面有三种：铅锤面（⊥H面）、正垂面（⊥V面）、侧垂面（⊥W面）。三种投影面垂直面的投影特征：（1）积聚性——在其所垂直的投影面上的投影为倾斜直线段，该倾斜直线段与投影轴的夹角，反映该平面对相应投影面的倾角；（2）相仿性——若平面用平面形表示，则在另外两个投影面上的投影仍为平面形，但不是实形；（3）判断——若平面形在某一投影面上的投影积聚成一条倾斜于投影轴的直线段，则此平面垂直于积聚投m所在的投影面。平面内的直线和点§2—5 换面法一、 换面法概述当直线或平面相对于投影面处于特殊位置（平行、垂直）时，它们的投影反映线段的实长、平面的实形及其与头面的倾角。当直线或平面和投影面处于一般位置时，则它们的投影不具备上述性。换面法的目的，就在于将直线或平面从一般位置变换为和投影面平行或垂直的位置，以便于解决它们的度量和定位问题。1．换面法的基本概念换面法就是保持空间几何元素不动，用一个新的投影面替换其中一个原来的投影面，使新投影面对于空间几何元素处于有利于解题的位置。然后找出其在新投影面上的投影。2．新投影面的选择原则（1）新投影面必须和空间的几何元素处于有利于解题的位置；（2）新投影面必须垂直于一个原有的投影面；（3）在新建立的投影体系中仍然采用正投影法。二、 点的换面点是一切几何元素的基本元素。因此在研究换面时，首先从点的投影变换来研究换面法的投影规律。1．点的一次换面   （1）换V面图2-25（a）表示点A在原投影体系V/H中，其投影为和现令H面不动，用新投影面V₁来代 V面，V₁面必须垂直于不动的H面，这样便形成新的投影体系V₁/H，O₁X₁是新投影轴。过点A向V₁面作垂线，得到V₁面上的新投影，点是新投影，点是旧投影，点是新、旧投影体系中的共有的不变投影。和是新的投影体系中的两个投影，将V₁面绕O₁X₁轴旋转到与H面重合的位置时，就得到图2-25（b）所示的投影图。由于在          （a）                     （b）                   （c）图2-25点的一次变换（换V面）新投影体系中，仍采用正投影方法，又在V/H投影体系和V₁/H体系中，具有公共的H面，所以点到H面的距离（Z坐标）在两个题词体系中是相等的。所以有如下关系：⊥O₁X₁轴；==A，即：换V面时Z坐标不变。由此得出点的投影变换规律是：①点的新投影和不便投影的连线，必c直于新投影轴；②点的新投影到新投影轴（O₁X₁）的距离等于被替换的点的旧投影到旧投影轴（OX）的距离，也即换V面时高度坐标不变。换V面的作c方法和步骤如图2-25（c）所示：①在被保留的H投影附近（适当的位置）作O₁X₁c；②由H投影向新投影轴O₁X₁作垂线，在此垂线上量取=，点即为所求。（2）换H面换H面时，新就投影之间的关系与换V面类似，也存在如下关系：⊥O₁X₁轴；==A，换H面是Y坐标不变。其作图方法和步骤与换V面类似2-25（c），可依此类推，此略。2．点的二次换面由于应用换面法解决实际问题时，有时一次换面还不便于解题，有时还需要二次或多次变换投影面。如图3-27表示点的二次换面，其求点的新投影的作图方法和原理与一次换面相同。但要注意：在更换投影面时，不能一次更换两个投影面，为在换面过程中二投影面保持垂直，必须在更换一个之后，在新的投影体系中交替地再更换另一个。如2-26（a）所示，先由H₁代替H面，构成新的投影体系V/H₁，O₁X₁为新坐标轴；再以这个新投影体系为基础，以V₂面代替V面，又构成新的投影体系V₂/H₁，O₂X₂为新坐标轴。二次换面的作图步骤如图2-26（b）所示：（1）先换H面，以H₁面替换H面，建立V/H₁新投影体系，得新投影，而==A，作图方法与点的一次换面完全相同；（2）再换V面，以V₂面替换V面，建立V₂/H₁新投影体系，得新投影，而==A，作图方法与点的一次换面类似。                                      （1）                                （2） 图2-26点的二次换面注：根据实际需要也可以先换V 面，后换H 面，但两次或多次换面应该是V 面和H 面交替更换，如：→→→……。三、几个基本作图问题       1．将一般位置直线变换为投影面的平行线如图2-27（a）为把一般位置直线AB变换为投影面平行线的情况。用V₁面代替V面，使V₁面∥AB并垂直于H面。此时，AB在新投影体系V₁/H中为正平线。图2-27（b）为投影图。作图时，先在适当位置画出与不变投影平行的新投影轴O₁X₁（O₁X₁∥），然后根据点的投影变换规律和作图方法，求出A、B两点在新投影面V₁上的新投影、，再连接直线。则反应线段AB的实长，即=AB，并且新投影和新投影轴（O₁X₁轴）的夹角即为直线AB对H面的倾角α，如图2-27（b）。如图2-27（c）所示若求线段AB的实长和与V面的倾角β，应将直线AB 变换成水平线（AB∥H₁面）也即应该换H面，建立V/H₁新投影体系，，基本原理凶魍挤椒ㄍ上。          （a）                     （b）                     （c）图2-27将一般位置直线变换为投影面平行线2．将投影面的平行线变换为投影面垂直线   将投影面平行线变换为投影面的垂直线，是为了使直线积聚成一个点，从而解决与直线有关部门的度量问题（如求两直线间的距离）和空间文质彬彬问题（如求线段面交点）。应该选择哪一个投影面进行变换，要根据给出的直线的位置而定。即选择一个与已知平行线垂直的新投影面进行变换，使该直线在新投影体系中成为垂直线。如图2-28（a）表示将水平线AB变换为新投影面的垂直线的情况。图2-28（b）表示投影图的作法：因所选的新投影面垂直于AB，而AB为水平线，所以新投影面一定垂直于H面，故应换V面，用新投影体系V₁/H更换旧投影体系V/H，其中O₁X₁⊥。                       （a）                        （b）图2-28将投影面的平行线变换为投影面垂直线3．将一般位置直线变换为投影面垂直线（需要二次换面）如果要将一般位置直线变换为投影面垂直线，必须变换两次投影面。先将一般位置直线变换为投影面的平行线，然后再将该投影面平行线变换为投影面垂直线。如图2-29所示，先换V面，使直线AB在新投影体系V₁/H中成为正平线，然后再换H面，使直线AB在新投影体系V₁/H₂中成为铅垂线。其作图方法详见图2-29（b），其中O₁X₁∥，O₂X₂⊥。                          （a）                                  （b）图2-29直线的二次换面4．将一般位置平面变换为投影面垂直面（求倾角问题）将一般位置平面变换为投影面垂直面，只需使平面内的任一条直线垂直于新的投影面。我们知道要将一般位置直线变换为投影面的垂直线，必须经过两次变换，而将投影<平行线变换为投影面垂直线只需要一次变换。因此，在平面内不取一般位置直线，而是取一条投影面的平行线为辅助线，再取与辅助线垂直的平面为新投影面，则平面也就和新投影面垂直了。如图2-30表示将一般位置平面△ABC变换<新投影体系中的正平线段的情况。由于新投影面V₁既要垂直于△ABC平面，又要垂直于原有投影面H面，因此，它必须垂直于△ABC平面内的水平线。作图步骤（如图2-30（b））：（1）在△ABC平面内作一条水平线AD线作为辅助线及其投影、；（2）作O₁X₁⊥；（3）求出△ABC在新投影面V₁面上的投影、、，、、 三点1线必积聚为一条直线，即为所求。而该直线与新投影轴的夹角即为该一般位置平面△ABC与H面的倾角α。同理，也可以将△ABC平面变换为新投影体系V/H₁中的铅垂面，并同时求出一般位置平面△ABC与V面的倾角β。     （a）                             （b）               （c）                          图2-30平面的一次换面（求倾角）5．将投影面的垂直面变换为投影面平行面（求实形问题）如图表示将铅垂面△ABC变为投影面平行面（求实形）的情况。由于新投影面平行于△ABC，因此它必定垂直于投影面H，并与H 面组成V₁/H新投影体系。△ABC在新投影体系中是正平面。图2-30（b）为它的投影图。作图步骤（如图2-31（b））：（1）在适当位置作O₁X₁∥；（2）求出△ABC在H₁面的投影、、，连接此三点，得△即为△ABC的实形。                                             （a）                               （b）图2-31将投影面的垂直面变换为投影面平行面6．将一般位置平面变换为投影面平行面（二次换面）要将一般位置平面变换为投影面平行面，必须经过两次换面。因为如果取新投影面平行于一般位置平面，则这个投影面也一定是一般位置平面，它和原体系V/H中的哪个投影面都不垂直而无法构成渫队疤逑怠Ｒ虼耍一般位置平面变换为投影面平行面，必须经过两次换面。如图2-32（a）所示，先换V面，其变换顺序为X→X₁→X₂，6H₂面上得到△=△ABC，即△是△ABC的实形；如图2-32（b）所示，先换H面，其变换顺序为X→X₁→X₂，在V₂面上得到△=△ABC，即△是△ABC的实形。           （a）                          （b）图2-32平面的二次换面四、 应用举例1.      点到平面的距离确定点到平面的距离，只要把已知的平面变换成垂直面，点到平面的实际距离就可反映在投影图上了。图2-33，用变换V 面的方法，确定点D到△ABC的距离，作图步骤如下：（1）由于△ABC中的AC为水平线，故直接取新轴O₁X₁⊥；（2）再作出D面和△ABC的新投影和（为一直线）；（3）过点向直线作垂线，得垂足的新投影，投影之长即为所求的距离。                                图2-33点到平面的距离2. 点到直线的距离及其投影例 如图2-34（a）所示：已知线段AB和线外一点C的两个投影，求点C到直线AB的距离，并作出C点对AB 的垂线的投影。<析：要使新投影直接反映C点到直线AB的距离，过C点对直线AB的垂线必须平行于新投影面。即直线AB 或垂直于新的投影面，或与点C所决定的平面平行于新投影面。要将一般位置直线变为投影面的垂直线，必须经过二次换面，因为垂直一般位置直线的平面不可能又垂直于投影面。因此要先<一般位置直线变换为投影面的平行线，再由投影面平行线变换为投影面的垂直线。作图步骤：（1）求C点到直线AB的距离。在图2-34（b）中先将直线AB变换为<影面的正平线（∥V₁面），再将正平线变换为铅垂线（⊥H₂面），C点的投影也随着变换过去，线段即等于C点到直线AB 的距离；（2）作出C点对直线AB的垂线的旧投影。如图2-34（c），由于直线AB的垂线CK在新投影体系V₁H₂中平行于H₂面，因此CK在V₁面上的投影∥O₂X₂轴，而与⊥。据此，过点作O₂X₂轴的平行线，就可得到点，利用直线上点的投影规律，由点返回去，在直线AB 的相应投影上，先后求得垂足K点的两个旧投影点和点，连接、。、即为C点对直线AB的垂线的旧投影。                                          （a）                    （b）                    图2-34求点到直线的距离及其投影3. 两交叉直线之间的距离两交叉直线之间的距离，应该用它们的公垂线来度量。分析：（1）当两交叉直线中有一条直线是某一投影面的垂直线时，不必换面即可直接求出两交叉直线之间的距离；（2）当两交叉直线中有一条直线是某一投影面的平行线段时，只需要一次换面即可求出两交叉直线之间的距离；（3）当当两交叉直线都是一般位置直线时，则需要进行二次换面才能求出两交叉直线之间的距离。例 如图2-35所示：已知两条交叉直线AB、CD，求两直线间的距离。 作图方法和步骤：（1）因为AB、CD两直线在V/H体系中均为一般位置直线，所以需要二次换面。先用V₁面代替V面，使V₁面AB，同时V₁⊥H面。此时AB在新投影体系V₁/H中为新投影面的平行线。在新投影体系中求出AC、CD的新投影、；（2）在适当的位置引新投影轴O₂X₂⊥，用H₂代替H面，使H₂面⊥，                                             图2-35两交叉直线之间的距离§2—6基本形体的视图及尺寸标注各种机械设备及其零件，虽然形状结构各异，一般都可看作由若干个基本几何形体组成的组合体；而任何基本形体又都可以看作是由一个或若干个面围成的。根据这些表面性质，几何体可分为两类：平面立体——由若干个平面围成的几何体，如棱柱、棱锥体等；曲面立体——由曲面或曲面与平面形所围成募负翁澹最常见的是回转体，如圆柱、圆锥、圆台、圆球、圆环等。一、平面立体的投影平面立体主要有棱柱、棱锥等，在投影图上表示立体就是把组成立体的平面和棱线表示出来，然后判断其可见性。看得见的棱线投影画成粗实线，看不见的棱线的投影画成细实线。1．棱柱在一个平面立体中，若各棱面互相平行，则该平面立体称为棱柱，如图2—36所示为一正四棱柱，它由四个棱面、顶面和底面组成。（1）分析投影其顶面和底面为水平面，该两面的水平投影反映实形；正面、侧面投影分别积聚成直线；棱柱的前、后棱面为正平面，该两面的投影反映实形，水平面、侧平面投影积聚成直线；棱柱的左、右两棱面为侧平面，该两面的侧面投影反映实形，水平面、正平面积聚成直线。棱线EC、FD为铅锤线，水平投影积聚成一点c（e）、d（f），正面投影、侧面投影反映实长 ，即：==CE，==DF，其它各棱线的投影分别与此类似。画图时，应先画出三个视图的中心线作为投影图的基准线，先画出反映实形的那个投影图（注意放高位置），再根据投影规律画出其他两个投影。画完底稿后一般应检查各投影图是否符合点、直线、平面形的投影规律，最后擦去不必要的作图线，加深需要的各种图线，使其符合国家标准，如图2—36。图2—36四柱的投影、三视图及表面求点（2）棱柱表面上求点立体表面上的点，其投影一定位于立体表面的同面投影上。例题1：已知CDEF棱面上B点的正面投影，求：它的水平投影和侧面投影。解：∵CDEF为铅锤面，其水e投影具有积聚性，∴点B的水平投影必在这条直线上，然后由和求出。注意：点的可见性的识别。2．棱锥三棱锥是一个三角形底面和三个三角形棱面的四面体，如图2—37所示，就是这种锥体的立体图和按箭头方向投影所得的三视图。图2—37三棱锥及其视图（1）投影分析按照图中所示的位置，三棱锥的三个三角形棱面都6一般位置平面，因此，它们的投影都不反映其真实形状和大小，但都是小于对应棱面的三角形线框。三个棱面既然都是一般位置平面，它们的交线即三棱锥的棱线自然也是一般位置直线，它们的都不积聚成点，而是小于实际长度的倾斜直线。（2）棱锥表面上求点组成棱锥的表面有特殊平面，也有一般位置平面；特殊位置平面上点的投影可利用平面积聚性作图；一般位置平面上点的投影可选取适当的辅助线作图，称为辅助线法。其依据是：在平面上的点，必然:平面上且通过该点的一条直线上。图2-38:锥表面上求点例题2：已知：（如上图）棱面ASB上点M的正面投影和棱面ASC上的N点的水平投影，       求：这两点的另外两个投影。        解：①棱面ASB是一般位置平面，过顶点S及M作一辅助线SⅡ，通过SⅡ的水平投影2可求出M的水平投影，再根据和求出；②还"过M点在棱面ASB上作AB的平行线IM，即作∥，再作∥，求出，并从，求出，如上图（b）；棱面ASC是侧垂面，其侧投影具有积聚性，故（）必与重影，由和即可求得（）。注意ASC是后侧棱面，该面上的点（不含棱线上的点）是正投影不可见。③棱锥表面上取线：方法1，作辅助线；方法2，直接延长已知线的投使与棱线相交，后求之。二、曲面立体的投影常见的曲面立体主要有圆柱、圆锥、圆球、圆环、圆台等，在投影图上表示曲面立体，就是把组成立体的曲面或平面和曲面表示出来，然后判断其可见性。1．圆柱圆柱表示由圆柱面和顶、底圆形平面所组成，圆柱面可看成是一条直线AA₁绕与它平行的固定轴OO₁回转形成的曲面。直线OO₁称为回转轴，直线AA₁称为母线，AA₁回转到任何一个位置称为素线，如图2—39所示。（1）圆柱的投影及特性圆柱的轴线⊥H面，上、下底面为水平面貌，其水平投影面上的投影反映实形，其正面和侧面投影积聚成一直线，圆柱面的水平投影也积聚为一个圆，外形轮廓的投影（即为圆柱面可见与不可见分界线的投影）。入正面上投影为最左、最右两条素线AA₁、BB₁的投影、；侧面上投为最前和最后两条素线投影和。作图时：首先画出中心线和轴线；        然后画出投影是圆的那个投影面的投影；        再画出其它两个投影面的投影。如图2—39圆柱的形成和投影如图2—39所示，当圆柱的轴线垂直于某个投影面时，必有一个投影是圆，另两个投影图为全等的矩形。（2）圆柱表面上求点如图2—39中的p点k点。已知：其在V面投影和，均为可见，（如图2—39中的点点）。求：e外两个投影。解：由于点位于圆柱面的最左边界母线上，其另外两投影、可直接求出，而点不在圆柱面的界限母线上，可利用圆柱面有积聚性的H投影先求出点K的水平投影，再由和求出，并判断可见性。2．圆锥圆锥表面由圆锥面和底面所组成，圆锥面可看成一直线绕与它相交的固定轴OO₁回转而形成的曲面。SA为母线，SA在圆锥面的任意位置即是它的素线，如图2—40所示。                            图2—40圆锥的形成和投影（1）圆锥的投影特性 如图2—40，圆锥轴线⊥H面，底面圆为水平面，它的水平投影反映实形，其正面、侧面投影均积聚成一条水平线。在正、侧两面投影中还要分n画出锥面外形轮廓线的投影，在正面投影上为最左、最右两条素线SA、SB的投影、，在侧面投上为最前、最后两条素线SC、SD的投影、。作图：首先画出中心线和轴线，      然后画出投影是圆的那个投影面的投影，再画出锥顶S的三面投影，最后分别画出其外形轮廓素线的投影，即得圆锥的投影图，如图2—32所示。特征：当圆锥轴<⊥某一个投影面时，在该投影面上的投影为一个与底圆相等的圆形；另两个投影必为全等的等腰三角形；其底边为底圆的直径投影（活说水平面积聚为一直线）；其两腰即为轮廓素线的投影；其顶点即为锥顶的投影。(2) 圆锥表面上求点已知：如图2—40，M、K为锥面上的两个点，M、K在V 面上的投影、，求：其它二个投影解：求M点，∵M点为特殊位置点（在界限母线上），它的作图简单，可直接利用投影关系求出。求K点，∵K点是一般位置的点，求它可利用两种方法：方法1： 过点K及锥顶S作锥面上的母线SE，即先过作由求出、，连接、，它们的辅助线SE点H、W面投影，而点K的H、W面投影必在SE的同面投影上，从而求出、。    方法2：过点KL 锥面上作一辅助圆，该圆与圆锥的轴线⊥，称此圆为纬线。点K的投影必在纬线上。其作图步骤是，先过K作水平线，它是纬线的水平投影（圆心与S点重合、半径为R），由点向下引垂线与纬线圆的交点，再由、求。然后判断可敬否，即为所求。（2）圆球三、基本几何形体的尺寸标注视图表达了物体的形状，而形体的真实大小，是由图样上缩标注的尺寸决定的，任何物体都有长、宽、高三个方向的尺寸，在视图上标注基本几何形体的尺寸时，应将三个方向的尺寸标注齐全，但每个尺寸只标注一次，应注在相关视图之间。1．平面立体尺寸标注                                   （a）                                                 （b）                           图2-41n面立体尺寸标注 2．曲面立体尺寸标注                         图2-42曲面立体尺寸标注常见不完整基本形体的三视图构成零件的基本形体，有时不是完整的棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球等，常常是被切去一部分。画这样不完整的基本形体的三视图时，一般应先按完整形体画出它的投影，然后再确定切割部分的形状和位置，利用三视图的投影关系及平面、直线的投影特性进行分析画出三视图。例1：画出开槽四棱柱的三视图分析：四棱柱的上部分用三个平面切去一部分，因此作图时，可先画出完整四棱柱的三视图和开槽的主视图，然后根据槽底是水平面，两侧是侧平面的性质，分别画出开槽的俯、左视图。作图过程：如图2—43所示，在图中的俯视图，由于通槽两侧面投影积聚为两条直线段，把正四边形分成三个闭合的线框，当中的一个反映槽底实形；在左视图中，由于通槽处前后棱被切去，∴左视图的外形不完整，槽底的侧面投影积聚为一直线，其中一段不可见用虚线表示。例2：圆柱被平行于其轴线的截平面截割时的三视图分析：当圆柱被平行于其轴线的截平面截割时，所得切口是矩形。 例3：圆柱被两个平行于其轴线的截平面截割时的三视图作图方法：接头形状为在圆柱左端前、后对称切去两块之后而形成扁头，每个切口由互相垂直的两个平面切成，平行轴线截切成矩形，垂直轴线截切成弓形（圆的一部分）∴前后切口都由矩形和弓形组成，其作图步骤如图2—44所示。图2—44接头的三视图例4：画出球体缺口的三视图（1）平面截切球：平面截切球，其切口为正圆形，如图2—45所示。>切口的水平投影是球水平投影的同心圆并反映切口实形，其它两切口积聚成直线。图2—45平面水平切球（2）开槽的半圆球及视图        图2—46开槽的半圆球及视图如图2—46所示，它是在半圆球上开槽而成。作图：①画法几何及工程制图出半圆球的三视图，及开槽的主视图，②画开槽两侧面与球的交线，按主、左、俯的顺序作图，③画槽底平面与球的交线，按主、左、俯的顺序作图，④擦去多余的线条，最后便是它的三视图。§2—7立体表面的交线不同的零件，结构不同，但都有不同的表面交线。画图时，为清晰地表达零件的形状，需正确地画出这些交线的投影。零件上表面的交线可分为两类。1．截交线——平面与立体表面的交线，2．相贯线——立体表面与立体表面的交线。平面立体的截交线特殊位置平面与平面立体的截交线平面立体被较平面切割后所得的截交线，是由直线段组成的平面多边形。多边形的各边是立体表面的交线，而多边形的顶点是立体的棱线与截平面的交点。截交线即在立体表面上，又在截平面上，∴它是立体表面和截平面的共有线，截交线上每一点都是共有点。因此，求平面与平面立体的截交线可归结为：求平面立体棱线与截平面的交点，或求截平面与平面立体表面的交线。例1：求四棱锥SABCD被正垂面P切割后截交线的投影。  图2—47四棱锥被正垂面切割 例2：求P、Q二平面与三棱锥SABC截交线的投影（其中：P⊥V面，Q∥H面）。                    图2—48三棱锥被二平面切割常见回转体的截交线平面与回转体表面相交时，其截交线是由曲线或曲线与直线组成的封闭平面图形。截交线既是截平面上的线，又是回转体上的线，它是回转体表面与截平面的共有线。因此求截交线的实质是求截交线上的若干共有点，然后顺序连接成封闭的平面i形。方法是：（1）利用截平面和回转体表面的积聚性，按投影关系直接求出截交线上点的投影，       （2）利用截平面的积聚性和求曲面立体上点的方法，求出截交线上点的投影。1．特殊位置平面与回转体的截交线（1）圆柱的截交线平面与圆柱相交时，根据截平面与圆柱轴线的相对位置不同，其截交线有三种情况：①两条平行线，②圆，③椭圆。例1：求圆柱的截交线图2—49圆柱的截交线例2：圆柱被一正垂面截切，画三视图（2）圆锥的截交线平面与圆锥面相交时，根据截平面与圆锥轴线的相对位置不同（截平面与圆锥轴线的倾斜程度），其截交线的形状也不同。共有五种情况：详见书中表所示。常见回转体的相贯线相贯线：是两相交回转体表面的分界线，也是它们的共有线。共有线上的每一点都是两回转体表面的共有点；因此，求两回转体相贯线的实质是求两回转体表面的共有点；两回转体相交产生的相贯线，随着两回转体的大小及相对位置的不同而变化。一般情况下相贯线是封闭的空间曲线，特殊情况为平面曲线或直线。常用的作图方法（1）利用相贯立体表面投影的积聚性，直接求相贯线的点；（2）利用辅助平面法，求作相贯线上的点。1．利用立体表面投影的积聚性求相贯线例1：两个直径不同的圆柱，其轴线垂直相交，求其相贯线的投影。详见书例2：求作水平圆柱与直立圆柱孔相贯线的投影。详见书2．辅助平面法当相贯的两回转体表面的投影均没有积聚性时，便不能采用回转体上直接取点来求作相贯线的投影，而要采用另一种方法即辅助平面法。即利用三面（辅助平面与相交的两回转面）共点来作图。i1：详见书中例题讲解3．影响相贯线形状的因素圆柱、圆锥相贯时，其相贯线的性质（空间昏平面曲线）、形状及其投影特性取决于：（1）它们的几何形状（圆柱、圆锥），（2）它们的大小（直径大小），（3）它们的相对位置（湎叩南嘟磺榭觯。4．两同轴回转面的相贯线详见书中例题讲解5．综合举例详见书中例题讲解 本章重点：1． 投影的概念，正投影的基本特性，三视图的形成及相互间的投影关系；2． 点、线、面的投影规律及其从属性，两点、两直线的相对位置，求一般位置直线的实长及倾角，两直线的相对位置；3． 点的一次、二次换面；4． 基本几何形体的投影特性，5． 基本几何形体的投影图的尺寸标注；6． 不完整基本形体的投影规律及在表面上取点、取线的作图方法；7． 平面与立体的截交线及两回转体的相贯线的求法（三种情况的分析方法和作图方法），首先对问题进行空间分析和投影分析，搞清已知什么，求什么，通过分析明确用用什么方法解题更合适。本章难点：1． 掌握正投影的基本特性，并能正确运用正投影的基本特性解决实际的作图问题；2． 直线、平面的相对位置；3． 用换面法求一般位置直线的实长、倾角、点到直线的距离、两直线之间的距离；4．基本几何形体投影图的尺寸标注（尺寸基准的选择）；5．掌握不完整基本形体的投影规律及在表面上取点、取线的作图方法；6．平面与立体的截交线、两回转体的相贯线的求法，特别是当截交线的投影均无特殊性的情况时的求法。说明：1．正投影的基本特性2．教案中未画出的图全部结合书中图例讲解3．学时按教学大纲执行