机械制图－第三章 基本体及其表面交线－直线的投影

★2.4 直线的投影

★2.4.1 直线的投影图
空间一直线的投影可由直线上的两点（通常取线段两个端点）的同面投影来确定。如:直线AB的三面投影图，可分别作出A、B两端点的投影（a、a′、a″）、（b、b′、b″），然后将其同面投影连接n来即得直线AB的三面投影图（a b、a′ b′ 、a″b″）

　

★2.4.2 直线对于一个投影面的投影特性

空间直线相对于一个e影面的位置有平行、垂直、倾斜三种，三  种位置有不同的投影特性。

1、真实性:当直线与投影面平行时,则直线的投影为y长。

2、积聚性:当直线与投影面垂直时,则直线的投影积聚为一点。

3、收缩性:当直线与投影面倾斜时,则直线的投影小于直线的实长。

★2.4.3  各种位置直线的投影特性

    直线在三投影面体系中的位置可分为T影面倾斜线、投影面平行线、投影面垂直线三类
★2.4.3.1投影面平行线
    平行于一个投影面且同时倾斜于另外两个投影面的直线称为投影面平行线。
    平行于V面的称为正平线；
    平行TH面的称为水平线；
    平行于W面的称为侧平线。
    直线与投影面所夹的角称为直线
    对投影面的倾角。
    斜线反映实长；
    直线的倾角α、γ。

★2.4.3.2 投影面垂直线
垂直于一个投影面且同时平行于另外两个投影面的直线。
垂直于V面的称为正垂线；
垂直于H面的称为铅垂线；
垂直于W面 称为侧垂线。
侧垂线的投影特性：
（1）两个投影反映实长；
（2）一个投影积聚为一点。

★2.4.3.2 一般位置直线
与三个投影面都处于倾斜位置的直线称为一般位置直线,投影特征 :
（1）直线的三个投影和投影轴都倾斜，各投影和投影轴所夹的角度不等于空间线段对相应投影面的倾角；
o2）任何投影都小于空间线段的实长，也不能积聚为一点。

★2.4.4   一般位置直线的实长和对投影面的倾角

★2.4.4.1直角三角形法的作图原理
AB为一般位置直线，过端点A作直线平行其水平投影ab并交Bb于C，得直角三角形ABC。在直角三角形ABC中，斜边AB就是线段本身，底边AC等于线段AB的水平投影ab，对边BC等于线段AB的两端点到H面的距离差（Z坐标差），也即等于a′ b′ 两端点到投影轴OX的距离差，而AB与底边AC的夹角即为线段AB对H面的倾角α。

★2.4.4.2直角三角形法的作图方法和步骤
用一般位置直线在某一投影面上的投影作为直角三角形的底边，用直线的两端点到该投影面的距离差为另一直角边，作出一直角三角形。此直角三角形的斜边就是空间线段的真实长度，而斜边与底边的夹角就是空间线段对该投影面的倾角。

★2.4.5 直线上点的投影

★2.4.5.1直线上点的投影

   点在直线上，则点的各个投影必定在该直线的同面投影上，反之，若一个点的各个投影都在直线的同面投影上，则该点必定在直线上。

★2.4.5.2直线投影的定比性

点C在线段AB上，它把线段AB分成AC和CB两段。根据直线投影的定比性，AC：CB = ac：cb = a′ c′：c′ b′ = a″c″：c″b″ 。

例m2－6  如图，已知侧平线AB的两投影和直线上K点的正面投影k′，gK点的水平投影k 。

★2.4.6 两直线的相对位置

两直线的相对位置有平行、相交、交叉三种情况。

★2.4.6.1 两直线平行

1、特性:若空间两直线平行，则它们的各同面投影必定互相平行。如图由于AB∥CD，则必定ab∥cd、 a′ b′∥c′ d′、a″b″∥c″d″ 。反之，若两直线的各同面投影互相平行，则此两直线在空间也必定互相平行。

2、判定两直线是否平行

 如果两直线处于一般位置时，则只需观察两直线中的任何两组同面投影是否互相平行即可判定。

   当两平行直线平行于某一投影面时，则需观察两直线在所平行的那个投影面上的投影是否互相平行才能确定。

★2.4.6.2两直线相交

1、特性：若空间两直线相交，则它们的各同面投影必定相交，且交点符合点的投影规律。如图两直线AB、CD相交于K点，因为K点是两直线的共有点，则此两直线的各组同面投影的i点 k、 k′、k″ 必定是空间交点K的投影。  

2、判定两直线是否相交

如果两直线均为一般位置线时，则只需观察两直线中的任何两组同面投影是否相交且交点是否符合点的投影p律即可判定。

  当两直线中有一条直线为投影面平行线时，则需观察两直线在该投影面上的投影是否相交且交点是否符合点的投影规律才能确定；或者根据直线投影的定比性进行判断。

★2.4.6.3 两直线交叉

两直线既不平行又不相交，称为交叉两直线。

1、特性：若空间两直线交叉，则它们的各组同面投影必不同时平行，或者它们的各同面投影虽然相交，但其交点不符合点的投影规律。

2、判定空间交叉两直线的相对位置

   空间交叉两直线的投影的交点，实际上是空间两点的投影重合点。利用重影点和可见性，可以很方便地判别两直线在空间的位置。

★2.4.7  直角投影定理

概念：空间垂直相交的两直线，若其中的一直线平行于某投影面时，则在该投影面的投影仍为直角。反之，若相交两直线在某投影面上的投影为直角，且其中有一直线平行于该投影面时，则该两直线在空间必互相垂直。这就是直角投影定理。

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