机械制图－第三章 基本体及其表面交线－平面与立体相交

3.2 平面与立体相交  

★3.2.1 截交线的性质
    平面与立体表面相交，可以认为是立体被平面截切，此平面通常称为截平面，截平面与立体表面的交线称为截交线。

    为了正确分析和表达机件的结构形状，我们需要了解截交线的性质和画法。由于立体的形状和截平面与立体的相对位置不同，截交线的形状也各不相同，但任何截交线都具有下列两个基本性质：
（1）截交线一定是一个封闭的平面图形。
（2）截交线既在截平面上，又在立体表面上，截交线是截平面和崽灞砻娴墓灿邢摺＝亟幌呱系牡愣际墙仄矫嬗肓⑻灞砻嫔系墓灿械恪
    因为截交线是截平面与立体表面的共有线，所以求作截交线的实质，就是求出截平面与立体表面的共有点。

★3.2.2 平面与平面立体相交
平面立体的表面是平面图形，因此平面与平面立体的截交线为封闭的平面多边形。多边形的各个顶点是截平面与立体的棱线或底边的交点，多边形的各条边是截平面与平面立体表面的交线 。

例3－1 如右图所示，求作正垂面P斜切正四棱锥的截交线。
分析：截平面与棱锥的四条棱线相交，可判定截交线是四边形，其四个顶点分别是四条=线与截平面的交点。因此，只要求出截交线的四个顶点在各投影面上的投影，然后依次连接顶点的同名投影，即得截交线得投影.

作图方法与步骤如上图（b）所示：
1．因为截平面P是正垂面，它的正面投影积聚成一条直线，可直接求出截交线各顶点的正面投影（a′）lb′、c′、（d′）。
2．根据直线上点的投影规律，求出各顶点的水平投影a、b、c、d和侧面投影a″、b″、c″、d″。
3．依次连接abcd和a″ b″ c″ d″ ，即得截交线的水平投影和侧面投影。
当用两个以上平面截切平面立体时，在立体上会出现切口、凹槽或穿孔等。作图时，只要作出各个截平面与平面立体的截交线，并画出各截平面之间得交线，就可作出这些平面立体的投影。

例3－2 如图3－14（a）所示，一带切口得正三棱锥，已知它的正面投影，求其另两面投影。

分析：该正三棱锥的切口是由两个相交的截平面切割而形成。两个截平面一个是水平面，一个是正垂面，它们都垂直于正面，因此切口的正面投影具有积聚性。水平截面与三棱锥的底面平行，因此它与棱面△SAB和△SAC的交线DE、DF必分别平行与底边AB和AC，水平截面的侧面投影积聚成一条直线。正垂截面分别欣饷妗鱏AB和△SAC交于直线GE、GF。由于两个截平面都垂直于正面，所以两截平面的交线一定是正垂线，作出以上交线的投影即可得出所求投影.

作图方法与步骤如图3－14（b）、（c）、（d）所示：
1．由d′ 在as上作出d，由d分别作ab、ac的平行线，再由e′（f′）在t条平行线上分别作出e和f ，连接de 、df即为DE、DF的水平投影。根据投影规律可在侧面上求出 d″e″、d″f″，如图3－14b所示。
2．由g′ 分别在sa、s″a″ 上求出g、g″，然后分别连接ge、gf、g″e″、g″f″，如图3－14（c）所示。

3．连接ef，由于ef被三个棱面的水平投影遮住而不可见，应画成虚线。注意棱线SA中间DG段被截去，故它的水平投影中只剩sg、ad，侧面投影中只剩s″g″、a″d″，如图3－14（d）所示.