瑞利－里兹法

通过泛函驻值条件求未知函数的一种近似方法，是英国的瑞利于1877年在《声学理论》一书中首先采用，后由瑞士的W.里兹于1908年作为一个有效方法提出。这一方法在许多力学、物理学问题中得到应用。

此法假定待求函数f(x)为n个已知函数 W(x)的线性组合：

式中α为未知常系数。通过由f(x)组成的泛函[f(x)]取驻值的条件(驻值条件对应于已知的物理定律或定理)得到n个方程：

由此解出n个未知常系数α，从而得到f(x)。这一理论还可推广到多维问题。

在求解弹性体位移时，先假定弹性体内沿x、y、z方向的位移u、v、w 分别由一系列已知的满足弹性体全部位移边界条件的连续函数u(x，y，z)、v(x，y，z)、w(x，y，z)(i=1，2，…，n)叠加而成，即

式中A、B、C为待求系数，共3n个。将u、v、w代入作为泛函的总势能∏ 的表达式，根据弹性力学最小势能原理，总势能变分为零，即有驻值条件：

这是关于3n个待求系数A、B、C的3n个代数方程。解出3n个未知系数便得到全部位移。通过对位移进行微商并利用应力－应变关系就得到应力。由于瑞利－里兹法假设的位移函数u、v、w可以不满足力的边界条件，所以位移函数的构成比较容易，计算也比较方便，但有时求出的应力误差较大。

在振动问题中，如果将物体的可能位移表达为若干给定的位移的线性组合，而以瑞利商(见瑞利原理)作为位移的泛函，则利用瑞利商取驻值的条件，就可求出物体振动的固有频率的近似值。

参考书目 鹫津久一郎著，老亮、郝松林译：《弹性和塑性力学中的变分法》，科学出版社，北京，1984。(Kyuichiro Washizu，Variational Methods in Elasticity and Plasticity，2nd ed.，Pergamon Press，Oxford，1975.)