三体问题

空间中以万有引力为相互作用力的三个质点的运动问题。解决这个问题的任务是在已知其初始位置和初始速度的前提下，确定三质点在任何时刻的位置和速度。二体问题已获圆满解决，但增加了第三体后，就无法通过初等函数的有限项表示其解。三体问题的一般理论二百多年来虽经许多著名数学家和物理学家的研究，但至今未得到解决。给定初始位置和初始速度，无法确定以后任意瞬时的位置和速度，也无法确定三体系统的稳定性，即无法确定其中一质点是否趋向无穷远或其中两质点是否会发生碰撞。尽管如此，三体问题中的某些问题仍然是可以研究和解决的。例如，若三体的初速度矢量同三体所处的平面共面，则三体保持在此平面上运动。另外，限制性三体问题也是可以研究的问题。例如，对月球火箭飞向月球的运动的研究就需要应用限制性三体问题的理论。

在三体问题中，作用于质点Q的力是：

式中m为质点的质量；r为质点的位置矢量；r为两质点间的距离；F为两质点间的作用力。三体问题的运动微分方程可写作：

(ji；i，j＝1，2，3)，

式中为质点Q的加速度。上式在直角坐标轴上的投影式为：

(ji；i，j＝1，2，3)，

这里有9个二阶微分方程，共为18阶。H.布伦斯和H.庞加莱曾证明n体问题只有10个积分，即3个动量积分，3个关于质心运动的积分，3个动量矩积分和1个能量积分，而且它们都是代数式。应用这10个积分可将三体问题的18阶方程降低到8阶，再用“消去时间法”降低到7阶，又用“消去节线法”降低到6阶。如为平面三体问题则可降为4阶。

如果3个质点中有一个质点Q的质量比其他两个质点Q和Q的质量小很多，则质点Q对质点Q和Q的运动影响很小。于是，Q和Q的运动便是一个二体问题，而确定Q点的运动就是一个限制性三体问题。例如，太阳的质量远超过所有行星的质量和，木星的质量远超过其他行星，一个在火星和木星之间运行的小行星在太阳和木星的引力场中运动，其质量与前二者相比可以忽略不计，确定这个小行星的运动就是一个限制性三体问题。如果Q和Q的运动轨道分别是以它们的质心为圆心的两个圆，则这个问题就是“圆型限制性三体问题”。月球轨道的离心率e＝0.0549，即轨道很接近圆形。如果不计太阳的摄动，月球火箭在未越出月球和地球引力场时，其运动就属于圆型限制性三体问题。

参考书目 E.T.Whittaker， A Treatise on the Analytical Dynamics of Particles and Rigid Bodies，4th ed.，Cambridge Univ.Press，Cambridge，1952. E. Finlay - Freundlich， Celestial Mechanics，PergamonPress，London，1958. W.M.Smart，Celestial Mechanics，John Wiley &Sons，Glasgow，1953.