哥德尔语句

在一阶形式数论(PA)中既不可证也不可否证的数论命题，即闭的一阶数论公式β，使PAβ且PAβ。

第一个这类命题是K．哥德尔给出的(参看哥德尔不完全性定理)，因而称为哥德尔语句，也叫不可判定的数论命题。在哥德尔之后，J．B．罗塞尔等人又给出了一些哥德尔语句的实例。王浩并且指出每个语义悖论都可以翻造成一个哥德尔语句。以上这些哥德尔语句都是为了证明哥德尔不完全性定理而人为地构造出来的，其逻辑意义十分明了，但在数论中的意义却很不自然：从研究数论的角度是不会遇到这些命题的。因而人们一直试图找到一个在PA中不可判定(既不可证明也不可否证)的自然的数论命题。

利用1970年完成的戴维斯－普特南－罗宾逊－马蒂亚谢维奇定理，可以得到这样一个结果：

存在一个整系数多项式方程，它事实上没有正整数解，但这一事实在PA中不可证(甚至在ZF中也不可证)。

不过这个方程仍嫌过于庞大。1977年，J．帕里斯和L．哈林顿终于找到了一个比较简单的组合论命题，证明了它是真的(在ZF中可证)，但在PA中不可证。这是第一个具有深刻数学意义的自然的哥德尔语句。