非牛顿流体力学

非牛顿流体力学是由流变学发展起来的研究非牛顿流体应力和应变的关系和非牛顿流体流动问题的分支学科。非牛顿流体是剪应力和剪切变形速率之间不满足线性关系的流体。自然界中存在着大量非牛顿流体，例如油脂、油漆、牛奶、牙膏、动物血液、泥浆等。非牛顿流体力学在化学纤维工业、塑料工业、石油工业、化学工业、轻工业、食品工业等许多部门有广泛的应用。

简 史

非牛顿流体力学的研究始于1867年J.C.麦克斯韦提出线性粘弹性模型，由于粘弹性流体问题复杂以及当时流体力学大量的研究工作主要集中在牛顿流体方面，所以进展十分缓慢。第二次世界大战结束后，化学纤维、塑料、石油等工业的迅速发展，向非牛顿流体力学提出了社会需求;应用数学、流体力学等学科的不断提高，为非牛顿流体力学提供理论基础。1950年J.G.奥尔德罗伊德提出建立非牛顿流体本构方程的基本原理，把线性粘弹性理论推广到非线性范围。以后，W.诺尔、J.L.埃里克森、R.S.里夫林、C.特鲁斯德尔等人对非线性粘弹性理论的发展也作出贡献。1976年K.沃尔特斯等人创办国际性专门刊物《非牛顿流体力学杂志》(Journal of Non-Newtonian Fluid Mechanics)。70年代后期出版了非牛顿流体力学、聚合物加工、流变技术等非牛顿流体力学的专门著作。非牛顿流体力学已发展成为一个独立的学科。

研 究 内 容

非牛顿流体力学主要内容有：

非牛顿流体及其本构方程  非牛顿流体依照本构方程的不同可分为三类：广义牛顿流体、有时效的非牛顿流体和粘弹性流体。

广义牛顿流体  和应力历史无关的非牛顿流体。自然界中大多数浆糊状的流体、悬浮液、塑料熔质等都是广义牛顿流体。它的本构方程可表示为：

式中为剪切变形速率；τ为剪应力。广义牛顿流体曲线如图1所示。下述三种流体都是广义牛顿流体。

①塑性流体 当剪应力低于屈服应力τ时，流体静止并有一定刚度；当剪应力超过τ时，流体流动。自然界中含有细砂的悬浮液，以及石油钻井的泥浆就是这种流体。较常见的塑性流体有宾厄姆塑性(流)体、广义宾厄姆塑性(流)体和卡森塑性流体。宾厄姆塑性(流)体的本构方程可写作：

τ-τ＝μ (|τ|≥τ)，

＝0， (|τ|＜τ)，

式中μ通常称为塑性粘度。广义宾厄姆塑性(流)体的本构方程为：

，

，

式中表示f为的函数。卡森塑性流体的本构方程为：

，

。

人和牛的血液颇符合卡森方程。

②拟塑性流体 它的粘度随剪切变形速率的增加而减小。这一特性和拟塑性流体在受剪时趋向于线性结构有关。描述拟塑性流体常用本构方程是：

τ＝K，

式中K为模量指数；n为幂律指数，n<1，一般为0.8～0.15。大多数高分子聚合物的溶液或熔质都是拟塑性流体。例如橡胶、醋酸纤维素、颜料悬浮液等。

③膨胀流体 它的粘度随剪切变形速率的增加而增加。其本构方程和拟塑性流体相同，但n>1。玉米面糊就是一种膨胀流体。自然界中只有很少的流体是膨胀流体。

有时效的非牛顿流体  应力不仅同变形速率而且同时间有关的非牛顿流体，分为触变流体和触稠流体两类。大部分胶状液体都是触变流体，其特性是静止时粘稠，甚至呈固态，但搅动后变稀而易于流动。触变流体在亚微观状态下是线性或网状结构。搅动时，这些结构被破坏，静止后，它们又重新形成。凝胶漆就是典型的触变流体。和触变流体相反，触稠流体的粘度是随时间而增加的。这类流体比较稀少，也无工业价值。

有时效的非牛顿流体的本构方程为：

式中λ(0<λ<1)为结构参数，当λ＝0时，结构完全破坏；g(λ，)在平衡状态时等于零。μ和g可由实验确定。

粘弹性流体  兼有粘性效应和弹性效应的流体。自然界中许多极粘稠流体(例如沥青)就是粘弹性流体。粘弹性流体可分为线性粘弹性流体和非线性粘弹性流体。

①线性粘弹性流体 应力和应变及其导数之间呈线性关系的流体。它的粘性效应用牛顿粘性定律描述。剪切变形速率为=τ/μ，式中μ为动力粘性系数。它的弹性效应用胡克定律描述，剪切变形为γ=τ/G，式中G为剪切模量。总的变形率为=+=τ/μ+/G或μ=τ+λ，式中λ＝μ/G为松弛时间。满足此本构方程的流体称为麦克斯韦流体。这种流体可以用一个弹簧和一个粘壶的串联模型来模拟(图2)。实际材料的性质虽然复杂得多，但仍可用一系列的弹簧和粘壶的组合来模拟。

②非线性粘弹性流体 偏应力张量和变形速率张量之间呈非线性关系的流体。

一个流体基元的应力状态可写作：τ＝T-pδ，式中τ为应力张量；T为偏应力张量；p为各向同性压力；δ为克罗内克符号。例如，在大分子溶液和聚合物溶液的定常流动中，当增加时，粘度会发生变化，这是由于在流体内每一点上存在各向异性的应力状态而产生的。非线性粘弹性流体通常有以下几种模型：二阶流体模型、非线性麦克斯韦模型、奥尔德罗伊德三常数模型。二阶流体模型的本构方程为：

，

式中 A里夫林-埃里克森张量，即变形速率张量的两倍；δ)/δ)t为牵连导数;β、β为材料常数。非线性麦克斯韦模型由线性麦克斯韦模型推广而得，其本构方程为：

T＋λδ)T/δ)t＝μA。

奥尔德罗伊德三常数模型的本构方程为：

T＋λδ)T/δ)t＝μ(A＋λδ)A/δ)t)，

式中λ为松弛时间；λ为材料常数。

此外还有广义二阶流体、三阶流体等微分型模型，各种广义麦克斯韦模型，隐含模型(或称广义奥尔德罗伊德模型)，积分型模型，根据粘弹性分子理论提出的哑铃模型、小球-弹簧模型，以及网络模型等等。

非牛顿流体流动  非牛顿流体流动具有与牛顿流体流动截然不同的特性，下面分别简要说明广义牛顿流体流动、有时效的非牛顿流体流动、粘弹性流体流动。

广义牛顿流体流动  塑性流体、膨胀流体和拟塑性流体都是广义牛顿流体，它们的流动特性是不同的。①塑性流体在管中流动时，轴线附近的塑性流体所受的剪应力小于它的屈服应力，因此这种流体类似固体在管中平移；壁面附近的流体则因剪应力超过屈服应力而处于流动状态(图3)。②拟塑性流体(或膨胀流体)在管道中流动时，流量和压差的关系是非线性的，而牛顿流体在管道中流动时，这种关系是线性的。

有时效的非牛顿流体流动  以触变流体为例，若将触变流体装入同心圆筒式粘度计的环形缝隙中，则在流体静止一段长时间后，让任一圆筒以等速旋转，就可发现流体的粘度(表现为另一圆筒上的转矩)随时间而减小(图4)。如果剪切变形速率先不断增加，后又不断减小，可以发现触变流体具有滞回效应(图5)。对于不同直径和长度的管子，流动状态是不同的，管子越长，管径越小，触变现象越明显(图6)。

粘弹性流体流动  粘弹性流体流动是非牛顿流体流动中研究得最为深入的一部分。其典型的流动有：

①定常剪切流动 一种测粘流动，可把它设想为许多层不可伸长的物质面相互之间的滑动。其变形速率和偏应力张量是：

；。

流动由三个材料函数表示：表观粘度、第一法向应力差系数和第二法向应力差系数应力差系数。

粘弹性流体的库埃特流动和泊肃叶流动均属这种流动。例如在自由面上，粘弹性效应能以外森伯效应的形式表现出来，即粘弹性流体有沿旋转棒向上爬的倾向(图7)。如果把牛顿流体放入容器，它会沿容器壁向上爬升。粘弹性流体从管内自由流出时，通常可以看到射流膨胀现象，这种现象称为挤出物膨胀(图8)。例如，聚苯乙烯在175～200℃条件下较快挤出时，直径膨胀达2.8倍；而牛顿流体从管中流出时则会收缩。以上现象都是由于粘弹性流体受剪切时产生法向应力差的结果。

图7

图8

②伸长流动 此种流动类似于固体的简单拉伸。其变形速率和偏应力张量如下：

，

式中k为伸长应变。而T-T=T-T=kμ(k)，μ(k)为拉伸粘度，它是k的函数。粘弹性流体拉伸粘度与剪切粘度的比值称为特劳顿比。对于牛顿流体，这个比值是3；对于粘弹性流体，由于拉伸粘度随着变形速率增加而增加，这个比值可达到 10～10量级。因此在伸长流动中会产生开口虹吸现象。如果把管子一端插入粘弹性流体，由于虹吸作用，流体经管道流出。如果把插入流体中的管端提出液面，流体仍然会被吸引上来(图9)。

在塑料工业中，大多数加工过程，如纤维拉丝和薄膜吹塑等基本上是伸长流动。渗流和润滑膜的流动也类似于伸长流动。

③收缩流动 这是介于剪切流动和伸长流动之间的一种复杂流动。在这种流动中，牛顿流体和粘弹性流体也有不同的流场。牛顿流体在中心产生环流，粘弹性流体则在壁面产生环流(图10)。塑料通过一个收缩口被挤入铸模的流动，聚合物通过喷丝口的流动，大小血管之间血液的流动等都属于收缩流动。

此外，还有非定常剪切流动等。

流动稳定性  主要研究非牛顿流体定常流动在什么条件下受到小扰动仍然是稳定的。近年来，这方面的研究取得一些成果。在圆筒库埃特流动中，粘弹性流体的弹性对稳定性影响依赖于所选择的本构方程和第二法向应力差。若二圆筒的间隙比半径小很多，当第二法向应力差大于零时，弹性使流动失稳，小于零时正好相反。又如，在大雷诺数下的平面泊肃叶流动(见层流)和斜面流动中，粘性流体的弹性可使流动失稳；在大雷诺数的斜面流动中，粘塑流体的塑性可增加流动的稳定性。另外，在聚合物通过一个收缩口被挤入铸模的流动中，不稳定流动会使塑料产品表面产生裂纹。在聚合物的纺丝流动中，不稳定流动除了产生表面裂纹外，还会产生拉丝共振现象，即纤维直径和法向应力的周期振动。在聚合物加工过程中，小雷诺数流动也会出现不稳定性。流动稳定性的研究，对于化工、化纤、胶片制造等工艺都是十分重要的。

实验手段和方法

研究和确定非牛顿流体的材料函数和流动特性，常用的主要测试手段有：

同心圆筒式和锥板式旋转粘度计：它们使试样产生一均匀的剪切变形速率，通过测量相应的剪切力，直接确定剪应力和剪切变形速率之间的关系，从而算出非牛顿流体的粘度。锥板式粘度计还可测量流体作用在静止板上的总力，以确定法向应力差。

导管粘度计：通过测量压力梯度和体积流量，导出剪应力和剪切变形速率之间的关系。它的数据处理比旋转粘度计复杂，适应性小，但结构简单并可用作高剪切速率粘度计。此外还有测伸长粘度的伸长流变仪等。

常用的测试方法有：

动态试验：使材料作正弦变化的剪切运动，跟踪观测产生应力的振幅和相位移并作频率响应分析，可得流体的动态性能。

应力松弛试验：以常速率剪切流体，足够长时间后流体的流动达定常状态，再突然停止运动。画出应力和时间的曲线可确定松弛时间。

参考书目 陈文芳：《非牛顿流体力学》，科学出版社，北京，1984。 K. Walters， Rheometry，Industrial Applications，Research Studies Press，Chichester，1980. W. R. Schowalter， Mechanics of Non-Newtonian Fluid，Pergamon Press，Oxford，1978.