哈密顿－雅可比方程

分析力学中求解动力学问题的一个方程，它把质点系动力学中的动力方程用偏微分方程的形式来表示。对于N自由度的完整系统，此方程可写作：

，(1)

式中H＝T－T＋V是哈密顿函数(见正则方程)，其中各广义动量p必须用来代替，S称哈密顿主函数。方程 (1)是W.R.哈密顿于1834年发表的，以此方程求解动力学问题，尚需用1837年建立的雅可比定理，故方程(1)称为哈密顿－雅可比方程。

建立哈密顿－雅可比方程的方法，对保守系统(H=E)可从系统的总机械能E的表示式T+V入手。例如，质量为m的质点在重力场内做抛射体运动，其机械能 (见能)可写作：

将等代入并利用式(1)，得：

。

又如，行星绕太阳运转的哈密顿函数为：

，

式中m为行星的质量；μ＝G(m+m)，m为太阳质量；G为万有引力常数； λ 和θ分别表示行星的黄经和黄纬。用代换，得：

雅可比定理可表述为：不论用何种方法，若自方程(1)求出包含 N个任意常数(α，α，…，α)的一个解(称为全积分)S(q，q，…，q；α，α，…，α；t)(简写为S)，则所给力学问题的正则方程的解就是：

。(2)

最后尚需将 2N个积分常数α，β(i=1，2，…，N)用初始条件表示出来。

对于保守系统，H＝E(常量，可令为α)，于是积分方程(1)，得：

S＝-αt+S，

式中S不再含时间t。

如果 H 中不含q，则 q为可遗坐标，因之有积分p＝α(常量)。由方程(2)的第二式积分后便有：

S =αq+S (i1)，

式中S不再含q。

结合以上两种情况，对于具有r 个可遗坐标(设为q，q，…，q)的保守系统，S可写为：

式中S(q，α)为除时间t和可遗坐标q，…，q以外其他各q，α的函数。

对于工程上的保守系统，不宜采用此法，因为推导繁琐，但它对天体力学的摄动法大有帮助。若用算符代替p，p，p，再将机械能E用代替，则方程式(1)就变成波动力学中的薛定谔方程：

式中h为普朗克常数；Ψ为与S对应的波函数。

参考书目 W. M. Smart， Celestial MechanicsSons，Glasgow，1953. 汪家訸编：《分析力学》，高等教育出版社，北京，1983。