力学系统平衡位置稳定性

在平衡状态的力学系统受到微扰后由于其平衡位置的特殊性而引起的稳定性问题。若不论时间多长，受微扰后的系统对原位置的偏差能随初始扰动的减小而受到任意指定的限制，则此位置是稳定的；反之，该位置是不稳的。例如小球在竖立的圆形轮圈上有两个平衡位置，最高点A是不稳定位置，最低点B是稳定位置。

1644年E.托里拆利发现，当物体系统的重心处于最低位置时，该系统是平衡的。托里拆利的“平衡”只指稳定的平衡。平衡位置的稳定性可看成运动稳定性的特例。

一个力学系统可有几个平衡位置，有些是稳定的，有些是不稳定的。一个有n个自由度的完整系统，其位置由n个广义坐标q，q，…，q来确定。要研究系统的稳定性，一般可通过坐标变换，使所要讨论的一个平衡点正好是坐标系的原点，对这原点有：q=q=…=q=0和== … ==0。又由于力系平衡，因此各广义力Q为零，即

Q=Q= …=Q=0。

对原点为平衡点的情况，坐标q，q，…，q就表示离开这位置的偏差。系统平衡稳定性的定义是：设在时间t=t有一扰动，使系统产生偏差q和(i=1，2，…，n)。如果对于任意ε＞0可找出δ＝δ(t)＞0，使

｜q｜＜δ，｜｜＜δ (i=1，2，…，n)

成立，且对任何时刻t＞t有不等式：

｜q(t)｜＜ε，｜(t)｜＜ε (i＝1，2，…，n)

则称系统在此平衡位置是稳定的。

如果对上述扰动在有限时间t＞t内有：

｜q(t)｜=ε，｜(t)｜=ε，

则系统在此位置是不稳定的。

1788年 J.-L.拉格朗日在它的《分析力学》书中指出：“如果一个保守系统的势能(见能)在某个平衡位置是个孤立的极小值，则此位置是稳定的。”这个定理后来被P.G.L.狄利克雷严格证明。

1892年 A.M.里雅普诺夫得到上述定理的一部分逆定理：“若保守完整系统的势能在某平衡位置是个极大值，则此平衡不稳定。”

Н.Г.切塔耶夫把上述定理加以扩充后变为：“若保守完整系统的势能在某平衡位置无极小值，则此平衡不稳定。”

对于存在着雅可比积分的动力系统，它的动能表示式。哈密顿函数(见哈密顿原理)H=T-T+V＝常量，T不出现在H中，这是与陀螺力(见陀螺仪)不作功有关。对这样的系统，当V-T在平衡点有一孤立的极小值时，则此平衡位置是稳定的。

对于存在着耗散力Q的非保守系统，哈密顿函数H的。由于Q与方向相反，所以阻尼力作负功，即永不为正。如果是负定函数，H是正定函数，那么依然可证明拉格朗日定理成立。耗散力不影响平衡点稳定的性质，原稳定者仍稳定，不稳定者仍不稳定。

力学系统除平衡位置的稳定性以外，尚有弹性稳定问题。这是指具有特殊结构和尺寸的弹性构件受到超临界力的载荷时所引起的稳定性问题；例如，两端受压力作用的细长杆的稳定性问题，外压大于内压的容器稳定性问题等。

参考书目 L.Meirovitch，Methods of Analytical Dynamics，Mc-Graw-Hill，New York，1970.