流体运动稳定性

某种形态的流体运动受初始扰动后恢复原来形态的能力。若运动能恢复原来形态，则流体的运动为稳定的，反之为不稳定的。1883年O.雷诺首次做了层流过渡为湍流的实验，后来人们认识到这种过渡是层流的一种失稳现象。不少自然现象和工程技术问题，例如台风形成、大气波动、边界层过渡、激光核聚变中球面压缩等，都涉及流体运动稳定性问题。

流体运动稳定性理论研究流体运动稳定的条件和失稳后流动的发展变化，包括过渡为湍流的过程。从理论上研究流体运动的稳定性时，常从扰动量(包括扰动速度等)变化着手。如果假定扰动为无限小，可建立小扰动理认，即线性化理论；如果扰动为有限值，可建立有限扰动理论。

层流向湍流过渡，必从失稳开始。但失稳后可能转变为另一种层流，而不一定过渡为湍流。Л.Д.朗道1944年提出一种可能的过渡形式：随着某流动参数(例如雷诺数)的逐渐增大，原先的层流失稳并变为另一种稳定层流；参数继续增大时，此层流将再失稳而变为另一种更复杂的层流，如此继续下去，终于失去层流的规则性而转变为湍流。这种过程称为重复分岔。小扰动理论可用于求第一个分岔点。对于某些流动，例如热对流和两同轴圆筒间的库埃特流，实验已证实存在第一和第二个分岔点；而另外一些流动，例如圆管中的泊肃叶流(见管流)，一旦失稳，总是立即转变为湍流。下面介绍几种典型的流体运动稳定性问题。

界面的稳定性  两种不同流体有一个明确界面时的稳定问题。包括以下两个问题。

瑞利－泰勒稳定问题  若两种液体均静止，且界面为水平面，其平衡稳定性问题称为瑞利-泰勒稳定问题。在小扰动理论中，将扰动分解为各种不同波数的扰动波。不同波数的扰动具有不同的增长率。若所有扰动波的增长率均小于零，则原静平衡形态是稳定的；若存在增长率大于零的扰动波，就是不稳定的。若上下两层流体的常值密度分别为ρ、ρ，并且所占空间在各方面都趋于无穷远，根据小扰动理论可以证明：当ρ＜ρ时，界面稳定；反之不稳定。而且当ρ＞ρ时，界面的表面张力可使波数大于某一定值的扰动波衰减，但不能使所有波数的扰动波衰减，因而不改变稳定条件。

当流体沿界面法线方向加速运动时，也有界面稳定问题。例如，设界面为球面，当其向心压缩时，也会有失稳问题，这时球形界面会被破坏。

开尔文－亥姆霍兹稳定问题  即两种流体作平行于水平界面的相对运动时的运动稳定性问题。最简单的例子是两种流体的速度均为常值且方向相同。用v、v分别表示上层和下层流体的速度，设ρ＜ρ，且流体在各方向都伸展至无穷远，当不考虑流体粘性和界面张力时，按照小扰动理论，不论v-v为何值，界面都是不稳定的。若考虑界面的表面张力，并用σ表示，则当相对速度满足下式时不稳定：

，

式中g为重力加速度。如果用此模型表示海面由于风吹而引起波浪，则可算出：v－v＝6.50米/秒时界面失稳而起浪。实际上产生海浪的原因很多，风速远小于此值时也可有浪。但观察发现，风速达到此值时，碎浪和蒸发率将突然增加。此模型的界面是流速不连续面。有的学者还提出两种流体速度在界面处连续的其他模型。

热对流的稳定性  流体受热不均匀时的稳定问题。1900年H.贝纳尔做了如下实验：在温度均匀的水平金属板上盛一薄层液体。当加热金属板但液体上下面温差不大时，热量通过热传导方式自下向上传递，液体保持静止。当温差达到某值时，液体因静平衡失稳而开始流动。此流动为有规则的层流，流场呈现规则的胞状结构(图1)。每一胞状结构中，流体自中心至边缘形成环流。

贝纳尔用鲸脑油所做热对流实验中呈现的胞状结构

英国学者瑞利首先用小扰动理论研究此问题，发现稳定性取决于瑞利数：

，

式中g、β、k、ν分别为重力加速度、液体的体积膨胀系数、热导率、运动粘性系数；d为液体层厚度；ΔT为液体上下面温差绝对值。当液体上下两面均与金属板接触而无自由表面时，临界Ra值为1708。此值与实验结果很吻合。

如果液体有自由表面，表面张力对这种稳定性有影响。当液体很薄时，表面张力可促使更早发生不稳定现象。随着瑞利数增大，胞状结构可以再次失稳而形成新结构，直至规则结构消失。实际上，热对流失稳是温差使液体在铅直方向出现密度梯度而产生的。溶液浓度在铅直方向有梯度所引起的密度梯度以及其他原因，也会引起对流失稳。

当静止的球状液体或两同心球壳间的液体由于内部球对称热源引起径向温度梯度，并且受球对称引力场的作用时，同样可能导致静平衡状态的失稳而形成对流。这一模型和地球物理的某些问题有关。例如，地心物质的对流有可能成为地磁场的形成和变动的原因。当然，研究这类问题时，必须考虑旋转作用。

两同轴旋转圆筒间流动的稳定性  当两同轴圆筒间充满液体，并使圆筒低速旋转时，筒间液体运动可维持层流状态，其流线均为同轴圆。流速分布如下：

v＝Ar+B/r，

式中r为到轴的距离;A、B为同圆筒转速和半径有关的常数。这种流动又称库埃特流动。

在一定条件下，这种层流在受到扰动时会失去稳定性。利用小扰动理论，可将扰动分解为各种沿轴向按正弦和余弦规律分布的波。若所有扰动波的增长率均小于零，层流是稳定的；若至少有一个扰动波的增长率大于零，层流就不稳定；若其他扰动波均衰减，但有一个扰动波的增长率为零，则称为临界情况。

G.I.泰勒1923年首先研究并解决了当两圆筒半径差远小于内筒半径时的流动稳定性问题。他直接寻找到某参数平面(例如Ω/ν-Ω/ν平面，Ω、Ω分别为内筒和外筒的角速度，ν为流体运动粘度)内对应于临界情况的点，从而得到划分稳定与不稳定参数区的中性曲线(图2)。图中R和R分别为内筒和外筒的半径。图中曲线为理论计算结果，点线为实验结果，二者很吻合。层流失稳后，形成定常的二次流，称为泰勒涡(图3)。若在液体中加入一些示踪微粒，可以清楚地看到此涡。继续改变参数值，这种层流可再次失稳而形成更复杂的二次流。此时泰勒涡在圆周方向呈波状，且此波在圆周方向有一定传播速度。决定此种流动状态的是泰勒数Ta：

，

式中η＝R/R，μ＝Ω/Ω。在外筒不转，圆筒极长，且(R-R)/R很小的条件下，泰勒求得的临界Ta值为3390。此值和泰勒涡尺寸的理论值都与实验很吻合。但二次流的速度幅值必须考虑非线性影响才能求得，最简单的方法是利用能量平衡法。但是也可以利用弱非线性理论来研究。第二次失稳后的情况较为复杂。因为实验所用圆筒长度总是有限的，考虑两端的边界条件又会给理论分析带来困难。至少到1980年还没有得到有限长圆筒的完整理论结果，不同研究者所得的实验结果也不一致。例如，二次失稳后的涡环尺寸、沿圆筒周向的波数等就没有公认的结论。

两同轴旋转圆筒间的流动稳定性问题虽然本身实际意义不大，但由于它的实验装置简单，而结果的某些部分与朗道的重复分岔理论吻合，所以仍被认为是研究过渡现象的一个好模型。

平行流动的稳定性  平行流动包括圆管内的泊肃叶流动，两平行平板间的泊肃叶流动、库埃特流动以及二者的组合。边界层中的层流严格地说不是平行流动，因为它的流线并不严格平行，但常用同样方法处理。

这类流动的特点是一旦失稳，立即转变为湍流而不再形成层流二次流。

如果应用小扰动理论，问题归结为研究一特征值问题。以两平行平板间的平面流动为例，就是要研究下列奥尔-索末菲方程的特征值分布：

，

式中фф()为未知函数;ф()为扰动的流函数；为流动垂直方向坐标;Re为雷诺数;=()为未扰层流速度;α为扰动波波数;C为未知特征值；。

在给定Re的情况下，若对一切α，所有C值虚部都小于零，则所有扰动均衰减，未扰层流是稳定的。若有某些C值虚部大于零，则对应的扰动增长，未扰层流是不稳定的。

奥尔-索末菲方程在20世纪初即已提出，但直至1944年林家翘才比较彻底地解决了这个数学上的难题，得到了Re-α平面内划分稳定和不稳定区域的中性曲线(图4，图中C＞0的区域不稳定，C＝0的线是中性曲线)，从而求得临界雷诺数Re约为6000。通过电子计算机，用数值计算方法求得的精确的临界雷诺数为5772。但实验未能很好地证实这一临界值，一般当雷诺数远小于此值时，层流即转变为湍流。

用同样方法研究边界层的层流稳定问题，可得类似的中性曲线。理论预测的中性波后来得到了实验证实。但小扰动理论并不能很好说明过渡现象。对圆管内的泊肃叶流动，用小扰动理论未能求出不稳定扰动波，也未能最终证明：无论雷诺数为何值，扰动都衰减。因而即使在小扰动理论范围内，问题还没有彻底解决。另外，从实验来看，一般当雷诺数超过2000时，层流即可转变为湍流。但若采取措施，尽量减小扰动，直至雷诺数为100000时仍可能保持层流。实验与小扰动理论之间的不一致，使人有理由认为在小扰动理论预测为稳定、但实际已发生过渡现象的雷诺数范围内，未扰层流对小扰动虽是稳定的，但对有限扰动可能是不稳定的。因此要全面解决问题，必须考虑有限扰动。

60年代初期，逐渐形成一种弱非线性理论。它实际上是从天体力学和非线性振动理论中常用的小参数法、渐近法等引伸出来的。用这种理论可以研究在什么条件下，除未扰层流解外，还存在其他有定常幅值的解及其稳定性问题。弱非线性理论本质上也是一种对某小参数展开的渐近法，因此它虽不要求扰动无限小，但仍要求扰动不能太大。因此，它的适用范围有限，不能充分说明层流到湍流的过渡现象。

除非线性问题外，扰动的三维性质也是重要因素。对于平面平行层流，理论上虽然已经证明二维扰动最易引起小扰动失稳，但实验已经证实，在向湍流的过渡中，三维扰动起着重要的作用。因此理论上考虑有限扰动问题时，不能仅限于二维扰动

参考书目 C.C.Lin，The Theory of Hydrodynamic Stability，Cambridge Univ.Press，Cambridge，1955. S.Chandrasekhar，Hydrodynamic and Hydromagnetic Stability，Clarendon Press，Oxford，London，1961. D.D.Joseph，Stability of Fluid Motion，Vol.1～2，Springer-Verlag，Berlin，1976. H.L.Swinney and J.P.Gollub，Hydrodynamic Insta-bilities and the Transition to Turbulence，Springer-Verlag，Berlin，Heidelberg，New York，1981.