弹性稳定性的本征值问题

在用线弹性小挠度理论求弹性结构失稳临界载荷时，可通过如下数学推导，把稳定性问题最后归结为一种特殊形式的齐次线性代数方程组的本征值问题。

设弹性物体在一组广义力Q，Q，…，Q作用下，产生相应的广义位移q，q，…，q，并处于平衡状态，则弹性物体的总势能∏可表示为广义位移的函数，即

∏＝∏(q，q，…，q)。

总势能∏的一次变分为：

。

δ∏＝0相当于弹性物体的平衡条件。在平衡状态下，总势能的二次变分为：

，

用矩阵形式可表为：

，

式中{δq}为由广义坐标的变分组成的阵列；上标”T”表示矩阵的转置；二次变分δ∏有三种可能情况：若所有{δq}都使δ∏＞0，则平衡是稳定的；若有某一个{δq}能使δ∏＜0，则平衡是不稳定的；若某一个或几个{δq}能使δ∏＝0，其余的{δq}使δ∏＞0，则平衡是随遇的。

矩阵可表为下列两矩阵之差：

，

式中[K]为结构的弹性刚度矩阵；[K]为结构的几何刚度矩阵；λ为与载荷有关的参数。

由随遇平衡条件δ∏＝0可得到：

([K]-λ[K]){δq}={0}。

用这一类式子所表示的问题为齐次线性代数方程组的本征值问题，λ为本征值(又称特征值)。通过线性代数的方法和数值方法可求出 λ，进而可求得失稳临界载荷。例如弹性杆承受一轴向压力N和其他广义力，在这种情况下，λ为轴向压力的失稳临界值N和初加轴向压力N之比。求出λ后，再由N=λN便可求出N。