应力函数和位移函数

在弹性力学中，为方便求解，常把应力或位移用几个任意的或某种特殊类型的函数表示，这些函数通常叫作应力函数或位移函数。

应力函数  最有名的应力函数是弹性力学平面问题中的艾里应力函数。如果没有体力，平面中的三个应力分量σ、σ、τ满足下列方程：

。(1)

根据方程(1)，可将应力分量用一个函数φ(x，y)表示为：

。(2)

φ便是艾里应力函数。对于均匀和各向同性的物体，φ是一个双调和函数，即它满足下列双调和方程：

ΔΔφ=0，(3)

式中是平面的拉普拉斯算符。引入φ后，平面问题原来的8个未知函数(两个位移分量、三个应变分量和三个应力分量σ、σ、τ就归结为一个函数φ。这对求解具体问题很有好处。

在弹性柱体的扭转问题中，剪应力分量τ、τ满足下列平衡方程：

。(4)

据此可将τ、τ用一个函数Ψ(x，y)表示为：

。(5)

Ψ称为普朗特应力函数。对于均匀和各向同性的柱体，Ψ满足下列方程：

ΔΨ=-2Gθ，(6)

式中G为材料的剪切模量(见材料的力学性能);θ为单位长度的扭转角。

位移函数  在求解弹性力学的空间问题时，也可以用六个应力函数代替原来的六个应力分量，但好处不多。所以，一般多采用各种位移函数。对于均匀和各向同性弹性体，位移分量u、u、u满足下列平衡方程：

式中是空间中的拉普拉斯算符；ν为材料的泊松比；G为剪切模量；为体力分量。方程(7)的解可以表达成多种形式。一种形式为：

式中ψ、ψ、ψ、四个函数满足下列方程：

。(9)

函数ψ、ψ、ψ、称为布森涅斯克-帕普科维奇-纽勃位移函数。弹性力学中许多空间问题的解都是从公式(8)推导出来的。

方程(7)还有另一种形式的解，即

式中F满足下列方程：

。(11)

函数F、F、F称为布森涅斯克-索米利亚纳－伽辽金位移函数。对于回转体的轴对称问题，公式(10)可作许多简化。取对称轴为z轴(x轴)，记r为所考虑点到z轴的距离，并记位移在r、z轴上的投影分别为u、ω。若==0，可取F=F=0，F=F(r，z)。这样，由公式(10)可得到：

，(12)

式中，即柱坐标中的拉普拉斯算符；F满足下列方程：

。(13)

公式(12)中的函数F称为乐甫位移函数。在求解轴对称问题时，经常利用公式(12)。

在==0的情况下，即使不是轴对称问题，方程(7)的解也可用一组位移函数F、表示如下：

式中F、满足下列方程：

，Δ=0。(15)

这组位移函数特别适用于求解无限体、半无限体和厚板等问题。