自由振动

力学系统受初始扰动后，不再受其他激励而在其平衡位置附近的振动。由于介质阻尼和内耗都看作是属于振动系统的，因此自由振动也包括有阻尼力的振动。最简单的自由振动就是简谐振动。其次是有阻尼力的单自由度线性振动(见线性振动)。对于多自由度的自由振动，由于振动过程发生在系统稳定的平衡位置邻近，若取平衡位置为广义坐标的原点，这时系统的动能T和势能V可近似地表为：

式中q为广义坐标；m为质量；k为刚度。作用在系统上还有与阻尼力类似的耗散力。这种力学系统的运动方程为：

(1)

式中F为瑞利耗散函数，L＝T－V为拉格朗日函数。

对于保守系统，F＝0，式(1)变成完整保守系统的拉格朗日方程：

应用上式于多自由度保守系统的自由线性振动，可得振动方程：

Μ +Kq =0，(2)

式中

q =(q，q，…q)，

它们分别为质量矩阵、刚度矩阵和广义位移矢量。

这种保守系统的振动特色是由各广义位移作简谐振动而形成的。可设主振动为：

q=u sin(ωt+)，(3)

式中u=(u，u，…u)，称为主振型矢量；q和u都可看作列矩阵。将式(3)代入式(2)并约去sin(ωt+)，得：

Ku -ωΜu =0，

(4)

上式称为特征矢方程，而H=K-ωΜ称为特征矩阵。式(4)有非零解的条件为：

｜H｜=｜K-ωΜ｜=0，

(5)

式(5)称为特征方程;从式(5)可解出n个ω(i=1，2，…，n)。将ω代入式(4)后，可解得对应于ω的n个u。ω称固有频率(主频率)，或特征值；u称固有振型(主振型)或特征矢量。当K和Μ为n阶实对称矩阵，且Μ正定时，存在n个实特征值ω和相应的n个特征矢量u，故式(2)的特解可写为：

式中A和是待定常数，由初始条件决定。例如已知t=0时的q和，则有：

从而可求出A和(i＝1，2，…，n)。

参考书目 王光远编著：《应用分析动力学》，人民教育出版社，北京，1981。