最小作用量原理

动力学中的一个变分原理。由保守系统的动力方程可以导出这个原理，也可自这原理导出动力方程。这原理可表述为：对于定常保守系统，作用量Tdt的积分的全变分为零。即

(1)

式中T为动能;t为时间；Δ为全变分记号。Δ与变分记号δ不同之处是：δt＝0，而Δt0。将Δ与δ施于同一变量时，有关系式：

Δq=δq+Δt。

因此Δ和δ两符号有关系式：

。

最小作用量原理还可详述为：对于定常保守系统，在广义坐标q和时间t的联合空间(q，q，…，q;t)里，对于机械能E保持不变(即δE＝0)的各条路径中，如果路径的端点(包括始点和终点)的全变分为零，则积分对于真实运动的路径和邻近的旁路比较，真实路径的积分是驻值。在一般实际情况中，式(1)确定的积分为极小值，最小作用量原理即由此得名。

对于一个质点，，因此式(1)成为

上式是1744年由 P.-L.M.de马保梯最先提出的一个最小作用量原理。他研究这个问题的目的是想配合光学中的费马原则，说明光是一种高速运动着的微粒。L.-V.德布罗意和E.薛定谔等所创立的波动力学(现在都称它为量子力学)也受到力学中的最小作用量原理和光学中的费马原理的许多类似之处的启发。后来L.欧拉证明这原理对于一个质点在有心力场中的运动也是成立的。J.-L.拉格朗日把这原理推广到N个自由度的保守系统并给予严格证明，所以这原理称为马保梯－拉格朗日最小作用量原理。

最小作用量原理与哈密顿原理的相同点是：①两者都是作用量的积分的变分原理，对时间不长的运动，两者都是极小值；②两者都是在多维空间(q，q，…，q;t)中真实路线积分与旁路线积分的比较；③这两个原理在所设条件下与保守系统的动力方程等效，三者可互相推导。最小作用量原理与哈密顿原理的不同点是：①哈密顿原理以为作用量，L为动势，最小作用量原理以为作用量；②哈密顿原理的始点和终点在多维空间(q，q，…，q；t)中为两定点，变分为等时的，即δt=0，最小作用量原理的始点q和终点q的全变分为零。即Δq＝Δq=0，且机械能E在各条路线上相同，即δE＝0。两种作用量有关系式：

式中H为哈密顿函数。