形有真数

形与数之间存在着确定的数学关系。北宋沈括对于数学中“形”与“数”内在关系的哲理性概括。在《梦溪笔谈》卷七“象数一”论刻漏和太阳视运动一节中，他提出：“大凡物有定形，形有真数。方圆端斜，定形也；乘除相荡，无所附益，泯然冥会者，真数也”的论断，即主张“形”与“数”之间有确定的数学关系。他的这种数学观，既是他的科学实践的理性的提升，也是儒学文化传统数学观的一种发展。

对于“数”古人早已形成“算数事物，顺性命之理”(《汉书·律历志》)的观念。由于勾股定理的发现及其传播，“数之则出于方圆”也成为一种有影响的文化观。刘徽(3世纪)提出的“析理以辞，解体用图”成为数学家以形数关系研究数学问题的方法论纲领。宋初，作为沈括同代人的理学家们也热衷于“数”的形上讨论。《易传·系辞》的“极其数遂定天下之象”的思想，被刘牧和邵雍等人强调到“数生象”的极端程度，提出“易有真数”(《皇极经世书·观物外篇》)的观念，并形成易学象数研究中的“数学”派。这是沈括形有真数观形成的儒学文化背景。

沈括的形有真数观虽说有上述文化背景，但它不能归属于理学家们那种对数的形上讨论。他的这种观点是作为解决历法数学计算问题的指导思想而论述的。他对古人历法术的研究发现，以往的历算家对太阳在黄道上移动的不均匀性采取按各节气内平均日差处理，因各节气的平均日差不同，黄道有棱角而不圆，勉强以不合数理的方法凑数仍不得形与数的弥合。基于“形有真形”的认识，他发明“圆法”和“妥法”，用统一的“日差”处理，则“循环无端，终始如贯，不能议其隙”。其圆法和妥法究为何法?学界至今尚未取得共识。但这并不影响对他的形有真数数学观的评价。

形有真数作为数学形数关系的论断显得模糊，沈括自己也认为“可以心得，不可言喻”。但这种理性认识毕竟指导他获得了“古之言算者，有所未知”的新的历算方法，“循之以索日变，衡别之求去极之度，合散无迹，泯如运规”。沈括的形有真数还有另一方面的意义，就其将象数关系转变为形数关系来讨论说，似可谓在易学象数论和科学的数学研究之间架起了一座桥梁。在沈括看来，他的这类研究均属“象数”之“甚微”者，且以不得邵雍之术为憾，足见其心路历程。