传递函数

出处：按学科分类—工业技术 北京理工大学出版社《新编液压工程手册上册》第135页（1158字）

(1)定义

线性定常系统在零初始条件下，其输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比称为该系统的传递函数。

设描述线性定常系统运动特性的微分方程为

式中，y为系统的输出量，x为系统的输入量，a_n，a_n－1，…，a₀及b_m，b_m－1，…，b₀为由系统结构、参数决定的常数。

设系统初始值均为零，对式(5．3－14)两端进行拉氏变换，得

若以G(s)表示系统的传递函数,则有

(2)关于传递函数的几点说明

·传递函数只适用于线性定常系统。

·和微分方程一样，传递函数表示系统的运动特性，它与微分方程一一对应。

·系统的传递函数只取决于该系统的结构和参数，与输入量的形式无关。

·传递函数是复数s的函数，一般为有理真分式，对实际系统来说，传递函数分子多项式的最高阶次m不高于分母多项式的最高阶次n，即m≤n。分母中s的最高阶次为n时，则称为n阶系统。

·在传递函数式(5．3－15)中，其分子多项式b_ms^m+b_m－1s^m－1+…+b₁s+b₀=0的根称为传递函数的零点；其分母多项式a_nsⁿ+a_n－1s^n－1+…+a₁s+a₀=0的根称为传递函数的极点。所以传递函数可以表达为零－极点形式，有

式中，K^*是传递函数用零、极点形式表示时的传递系数；z₁，…，z_m为传递函数的零点；户₁，…，p_n为传递函数的极点。

传递函数的零、极点数值完全取决于系数b_m，…，b₀及a_n，…，a₀，即取决于系统的结构参数。一般z_i和p_i可为实数，也可为复数，且若为复数，必共轭成对。将系统的零、极点标在复平面上，则得传递函数的零、极点分布图。因此，系统的零、极点分布图也是一种系统的数学模型。如图5．3－2表示了一个具有一个零点z₁=－2，和三个极点户₁=－3，户₂=－1+j，p₃=－1－j的三阶系统零、极点分布图。

图5．3－2 一个三阶系统的零、极点分布图