饱和模型

模型论中的一个重要概念和证明方法。语言L的简单膨胀是符号集合L∪C，其中C是新常元的集合。C用一序数作指标，C=｛cξ：ξ＜η｝。模型的一个简单膨胀是的增加选自A的新常元的扩充；的简单膨胀记作(，α)。的长度小于α的膨胀记作(，α)。的这些简单膨胀是L∪C的模型(c解释为α)。设∑(x)是L的公式σ(x)的集合，x是其中的自由变元。如果∑(x)是在L的模型中有穷可满足的，即对∑(x)中的任何有穷个公式σ(x)，…，σ(x)，有

则称∑(x)为对于一个型。一个型∑(x)是在中实现了的当且仅当存在一a∈A使得σ［a］对所有σ∈∑。

一个模型是α饱和的当且仅当每一简单膨胀(，α)＜＜实现对于它的每一个型∑(x)。如果是α饱和的并且β≤α，则是β饱和的。是α饱和的(α是α的基数后继)当且仅当每一简单膨胀实现对于它的每一个型。一个模型是饱和的当且仅当是｜A｜饱和的。饱和模型具有唯一性，即如果和是有同一基数的初等等价的模型，则与是同构的。饱和模型具有很丰富的内部性质，可应用于许多定理的证明，特别是利用饱和模型可以比较一致地证明关于形式理论的各种保持性定理。它也为证明一个理论的完全性提供了有力的工具。

设L是一递归语言。L的一个模型称为递归饱和模型，如果对新常元的每一有穷集合｛c，…，c｝，L(c，…，c)的每一递归的公式集Γ(x)，和A的元素的每一n元组a，…，a，如果Γ(x)是在(，a，…，a)中有穷可满足的则Γ(x)是在(，a，…，a)中实现了的。粗略地说，一递归饱和模型就是对递归的公式集合饱和的模型。例如，每一ω饱和的模型是递归饱和的。利用递归饱和模型的方法，可以简化模型论中许多结果的证明。