多値逻辑

非古典逻辑的一个分支，它们的命题可以具有3个或3个以上的真值。能用n个数值的真值表而不能用更少个数值的真值表刻划的逻辑，被称为n值逻辑。

多值逻辑的历史可追溯到古希腊亚里士多德对未来偶然性的讨论，现代多值逻辑则是由波兰的J．卢卡西维茨(1878～1956)和美国的E．L．波斯特(1897～1954)开创的。1920年，他们各自独立地提出了完整的多值逻辑系统。卢卡西维茨系统中的命题联结词用下面的真值表来刻划：

这里，以1为特指值，也就是说只取此值的命题为永真命题。当命题变项p取2为值时，命题p∨p和(p∧p)都取2为值。因此，排中律和矛盾律在卢卡西维茨三值系统中都不成立。1930年，卢卡西维茨把他的三值系统推广到了任意多个真值的情形。他的n+1值逻辑以0，1，…，n为真值，0表示“最真”，而n表示“最假”；对于x，y∈｛0，1，…，n｝，x→y的值为yx，即当y＞x时为y－x，否则为0；x的值为n一x；相应地，x∧y=max(x，y)而x∨y=min(x，y)。1931年，M．华杰斯伯克(1902～1939)建立了卢卡西维茨三值逻辑的公理系统。这个公理系统仅有的推理规则是分离规则，而公理则是形如A→(B→A)、(A→B)→((B→C)→(A→C))、(A→B)→(B→A)或者((A→A)→A)→A的任一个命题。

卢卡西维茨提出三值逻辑是由哲学考虑引起的，也就是为了解决亚里士多德关于未来偶然性的问题。波斯特建立多值逻辑则是从纯形式考虑出发的，也就是他直接假定命题变项的真值个数大于2，由此来建立任意有穷多个值的逻辑系统。波斯特三值系统的真值表如下：

这里，仍以1为特指值。当命题变项p取2为值时，命题p∨p的值为2。因此，排中律在此系统中不成立。波斯特n值系统中否定联结词的真值表如下：

其它联结词的真值是这样来确定的：A∨B的值取A和B二者的值中较小者、A∧B的值相同于(A∨B)的值、A→B的值为A∨B的值。有关波斯特多值逻辑的许多问题，包括它们的公理化的一般方法问题，至今尚未彻底解决。

1939年，前苏联逻辑学家D．A．波契瓦尔为解决语义悖论提出了卢卡西维茨三值系统的一个重要变种：

这里，仍以1为特指值。他不像卢卡西维茨那样把第三个真值2看成是“不确定的”或“可能的”，而把它看成是“悖论的”或者“无意义的”。因此，当有一个支命题取2为值时，由它构成的合取式、析取式等复合命题也都无意义。在波契瓦尔的三值系统中没有常真的命题，为此他采用了“内外有别”的两种断定方式来推广永真命题的概念。一命题p直接的“内部”断定就是p，而它的“外部”断定则用一个专门的断定算子表示为。在这一推广下，其它联结词也都有内外不同的两种形式。断定算子以及这些“外部”联结词的真值表如下：

这里，A的外部形式A为，A∧B的外部形式AB为，A→B的外部形式AB为，AB的外部形式AB为。当命题内的联结词都以外部形式出现时，可以直接考虑0，1两个值，此时就完全一致于古典二值系统的情形。推广后的波契瓦尔系统中的永真命题都是二值系统中的重言式；反之，以相应的“外部”联结词替代古典联结词，每个重言式就相应地成为它的永真命题。1954年，中国逻辑学家莫绍揆为卢卡西维茨的三值系统提出了一个波契瓦尔式的解释。

20世纪20年代至50年代，许多逻辑学家建立了n值命题演算与谓词演算的公理系统，并探讨了它们的一致性和完全性问题，同时研究了多值命题演算与无穷多值命题演算的子系统问题。多值逻辑在60年代获得了新的推广，从多值的线性域推广到多值的偏序域，建立了格值逻辑。70年代以后，多值逻辑被用于计算机和人工智能等方面。