哥德尔完全性定理

一阶逻辑的一个很重要的元定理，它首先由K．哥德尔证明。这个定理是：狭谓词演算中的每一有效公式皆可证。哥德尔在同一篇论文中还证明了较强形式的完全性：狭谓词演算的任一公式或者可否证或者是可满足的(而且是在可数个体域中可满足)。

由于完全性定理的重要性，也由于它的内容的深刻性和证明的难度，吸引了学者们的研究，作出了许多不同的证明，其中L．享金的证法后来发展为模型论中构作模型的重要方法。享金形式的完全性定理为：如果ΦA，则Φ┝A。(Φ为一阶逻辑的任意公式集。)

从完全性定理可以得出一阶逻辑的另外两个重要定理：紧致性定理和勒文海姆－司寇伦定理。

完全性是元逻辑所关心的最重要问题之一(另一问题是协调性)。人们希望数学的形式化公理系统是完全的，能够包括直观数学理论的所有真命题，以逻辑规律为对象的公理系统更首先需要是完全的。D．希尔伯特1928年关于数学基础问题的讲演中列举了4个未解决问题，第四和最后的问题就是一阶逻辑的完全性问题。在同年出版的他与W．阿克曼合著的《理论逻辑基础》中首次明确地作为待解决问题陈述了一阶逻辑的完全性问题。哥德尔证明一阶逻辑的完全性，在逻辑发展史上有划时代的意义，它标志着数理逻辑发展已臻成熟并开始进入新的发展阶段。