非标准模型

一种不是期望的或非自然的模型，最早发现的非标准模型是T．司寇伦建立的算术的非标准模型。形式算术理论PA的语言L有一个个体常元0，一个一元函数S和两个二元函数+、·。PA的公理有以下7条：①(S(x)=0)。②xy(S(x)=S(y)→x=y)。③x+0=x。④x+S(y)=S(x+y)。⑤x·0=0。⑥x·S(y)=x·y+x。⑦对语言L的每一含自由个体变元x的公式A(x)，A0)∧x(A(x)→A(S(x)))→xA(x)。自然数算术是PA的标准模型。在L中增加一个新的个体常元c，把这新的语言记为L′。考虑L′的语句集合(是形式语言中表示数n的·项)：

PA的模型也是的每一有穷子集的模型，根据紧致性定理，有一个模型，也是PA的一个模型。在的论域A中有一个体，它大于每一自然数。因此是PA的一个非标准模型，称为非标准自然数。一般地，一个理论如果有无穷模型，则总存在它的非标准模型。

非标准模型在数学中有多方面的应用。例如，A．罗宾逊创立的非标准分析，其基础就是实数系R的非标准模型，它为在数学中应用“无穷小量”提供了精密严格的逻辑基础。