集合

数学、逻辑学、计算机科学中的基本概念，集合论的主要研究对象。确定的，可区分的对象(或事物)搜集在一起作为一个整体看待，就叫作集合，简称集，其中各事物叫作集合的元素或简称元。如①张三、李四、王五三个人可以组成一集合，张三、李四、王五都是这一集合的元素；②全体英文大写字母，可以组成一集合，A、B等都是这一集合的元素；③《阿Q正传》中出现的不同汉字，可以组成一集合；④全体自然数也可以组成一集合；⑤直线上所有的点可以组成一集合。但甲班高个子的学生就不算集合，因为不满足确定与可区别的条件。事物m是集合S的元素有时也说成m属于S或S含有m，记为m∈S。如果集合只含有有穷个元素，便称为有穷集合，否则称为无穷集合。在上面的例中，前三个是有穷集合，后两个是无穷集合。

集合是不能严格定义的，人们只能给出一种描述性的说明。集合论的创始人G．康托尔曾把上述描述性的说明当作集合的定义，结果引出了若干悖论。集合是由它的元素决定的，当一个集合的所有元素都已知时，这个集合就确定了。这时如果它是有穷集，便可将其元素全部列出，置于括弧内来表示(什么顺序都无关系)。比如：①｛张三，李四，王五｝，②｛A，B，…，Z｝，对于③虽有许多麻烦，但原则上是办得到的。但是，如果我们考察无穷集合，那么，上面的方法就有困难了。这时人们常用能够刻划集合的任一元素的某一条件P(x)来加以概括了。比如④中的集合可以表示为：｛x｜x是一自然数｝，⑤可以表示为：｛x｜x为直线上一点｝。这种表示法也适用于有穷集合。一集合可以没有任何元素，这种集合只有一个，叫做空集合，记作符号Φ。任给两个集合A与B，如果B的元素都是A的元素，就称B为A的子集合，或叫A包含B，并记作BA。例如，令D为全体偶数所组成的集合，N为全体自然数所组成的集合，R为全体实数所组成的集合，显然有：

空集合Φ是任何一集合的子集合；任一集合A都是它自己的一子集合，亦即有：

当集合B是集合A的一子集合，亦即BA时，并且B又不同于A，即A中至少有一元素不在B中，这时就称B为A的一真子集合，或A真包含B，并记做BA或BA。当B、C二集合的元素完全相同时，就说B=C．也就是说，B=C，当且仅当BC且CB。

包含(即)是一种关系，并且具有自反性，即AA，这里A是任一集合。它还具有传递性，反对称性，亦即对于任意的集合A，B，C，都有：

若AB，BC，则AC(传递性)

若AB，BA，则A=B(反对称性)。

需要注意的是：属于关系∈与包含关系是不同的。前者是元素与集合的关系。一般说，它不具备自反性，如Φ∈Φ是不成立的，也不具备传递性和反对称性；后者是集合与集合之间的关系。在集合论中，属于关系∈通常是基本关系，而其它关系包括上述包含关系都是借助于基本关系∈经定义而引进的。