勒文海姆－司寇伦定理

模型论中的一条重要定理。这条定理内容是：一阶语言L的可数公式集Φ，如果Φ有模型，则Φ有可数模型。它的发展了的形式通常称为勒文海姆－司寇伦－塔尔斯基定理，简称LST定理。在一阶模型论中，它的含义是：设一阶语言L中所能表达的语句的个数为λ(是一个超穷基数)，如果L中的一个理论T有无穷模型，则T有基数为任何α≥λ的模型。在非一阶理论中，LST定理不一定成立，例如在二阶逻辑中它不成立。

这个定理在模型论和公理集合中有广泛的应用。根据这个定理，在讨论问题时可以改换不同基数的模型而不影响所关心的理论。由这个定理可以得出非标准模型的存在。这种非标准模型往往有助于研究通常的标准模型。在公理集合论中，在构作证明某些命题的协调性、独立性的各种模型时，往往都是从一组集合论公理的一个可数模型出发。这种可数模型的存在性，就是在该组公理“有模型存在”的假设下引用这个定理得到的。LST定理与紧致性定理一起在某种意义上刻划了一阶逻辑的特征，即一阶逻辑是满足这两个定理的最丰富的系统。

但是，从某种意义说，勒文海姆－司寇伦性质是不自然的。例如，若通常的集合论公理系统ZF有一个模型，则它也有一个可数模型M。在ZF中可以证明一个定理(1)x(x是不可数的)，即有ZF┝(1)，因而有M(1)。但(1)仅仅在M内为真，从模型外部看，对于M，(1)是不真的。换句话说，即使M包含很多集合(例如ω在M中)，按照M中能利用的函数，这些集合是不可数的，但它们在“真实的世界”中却是可数的。这种特异现象称为司寇伦悖论。