康托尔，G．F．L．P．
【介绍】：
集合论的创始者。丹麦犹太商之子，生于圣彼得堡，1856年移居德国南方，1863年进柏林大学学习数学，1867年获博士学位，1869～1879年任哈勒大学讲师，1879～1905年任教授。晚年病魔缠身，在精神病院去世。他的主要论文在他逝世后被编成《康托尔文集》，于1932年出版。康托尔的学位论文虽然是有关数论方面的，但由于受著名数学家K．外尔施特拉斯的影响，后转向三角级数的研究，他在1870～1872年间关于三角级数的论文中初步奠定了点集理论的基础。1874年，他发表了第一篇关于无穷集合的论文，证明了有理数集合与正整数集合有一一对应关系，实数集合与正整数集合没有一一对应关系，所有代数数集合与正整数集合有一一对应关系，因而非构造性地证明了超越数的存在。对前两个结果，后来他又给出了更加简明深刻的证明，至今仍为各种教科书所采用。1874年，他开始考虑一条直线上的点和整个Rn中的点的对应关系，并企图证明这两个集合不可能构成一一对应关系，3年之后他却证明了这样的对应关系是存在的。康托尔把集合定义为一些确定的、不同的东西的总体。他认为人们能意识到这些东西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体。他接受实无穷的观点，肯定无穷集合可以作为固定的整体存在，把集合能与其部分有一一对应作为实无穷集合的特征，并应用一一对应关系作为基本原则来区分无穷集合的大小，引进了势即基数的概念。他在1879～1884年间发表的一系列题为《关于无穷的线性点集》的文章中，建立了基数和序数的理论。1891年，他证明了一集合的所有子集所组成的集合的基数大于该集合的基数，因而没有最大的集合，也没有最大的基数。在讨论任意两个集合的基数的比较时，他注意到集合的良序问题，提出了良序定理，但未能给出证明。他分别于1895年和1899年发现了集合论中最大序数的悖论和最大基数的悖论。他还提出了著名的连续统假设。康托尔的研究成果为集合论奠定了基础，对数理逻辑和数学基础的研究和发展产生了深刻的影响。集合论作为数理逻辑的分支已成为数学的重要基础理论。