量子逻辑

研究量子理论中的命题及其推理的逻辑分支。量子理论是研究微观粒子(如中子、原子和分子等)运动规律的理论。微观粒子特有的波粒二象性和测不准关系，打破了古典逻辑的“非此即彼”模式。为了能合理地解释量子实验中的种种反常现象，促使人们修正古典逻辑，建立和发展量子逻辑。量子逻辑理论最早见于G．伯克霍甫和J．冯·诺伊曼(1903～1957)的文章《量子力学的逻辑》(1936)。他们的思想后来为H．赖兴巴赫、卡尔纳普等人所发展。1942年赖兴巴赫提出将三值逻辑应用于量子理论。1972年H．狄西康德提出用可能世界语义理论解释量子逻辑。1981年G．泰克乌提将量子逻辑应用于集合论。

量子逻辑的命题语言由命题字母P，P，……和逻辑联结词、∧组成。其它语形概念如通常所作。下面，将用代数语义来刻划两种不同的量子命题逻辑：极小量子逻辑(MQL)和正交模量子逻辑(OQL)。OQL强于MQL。

MQL的代数语义用到代数中正交格的概念。一个正交格就是一个结构=(B，≤，*，1，0)，这里(B，≤，1，0)是一个以1为最大元和0为最小元的格，*是B上的一元运算(称为正交补运算)，满足下列条件(a∪b和a∩b分别表示a、b的最小上界和最大下界)：

跟布尔代数不一样，在正交格中∩和∪的分配律不成立，但是有(a∩b)∪(a∩c)≤a∩(b∪c)及其对偶a∪(b∩c)≤(a∪b)∩(a∪c)。MQL的一个代数实现就是由一个正交格=(B，≤，*，1，0)和一个赋值函数v组成的序对=(，v)；赋值函数v为每一个公式α配上B中的一个元素(真值)，并满足下列条件：

如果v(α)=1，则称α在=(，v)中为真，记成α；如果α在任一个代数实现中都为真，则称α为逻辑永真，记成α。当α成立时，称为α的模型。如果为公式集Γ中任一个公式的模型，则称为Γ的模型。所谓α是Γ的一个逻辑后承，记成Γα，是指对于任一个代数实现=(，v)和中任一个元素α而言，如果对于Γ中任一个公式β有a≤v(β)那么a≤v(α)。｛α｝β简记为β。当Γ是有穷公式集｛β，……，β｝时，显然有Γαiffv(β)∩……∩v(β)≤v(α)。易证，αiff对任一公式集Γ有Γα。

OQL的代数语义用到正交模格的概念。一个正交模格就是一个具有正交模性的正交格=(B，≤，*，1，0)。所谓正交模性是指这样一个性质：对B中任意的a和b有，a∩(∪(a∩b))≤b。oQL的一个代数实现也就是MQL的一个代数实现=(，v)，但要求是一个正交模格。oQL中的逻辑永真和逻辑后承等概念完全类似于MQL中的相应概念。MQL和OQL都可用相应的可能世界语义来刻划。

量子逻辑的种种公理化系统都已作出，下面是MQL的一个自然推理系统。令Γ，……，Γ表示任意的公式集。任一个规则都具有这样的形式：

它表示，如果α可从Γ推出，……，α可从推出，那么α可从Γ推出。rα、……、Γ都被称为前提，而Γα被称为结论。当前提为空的时就简记成Γα，如Γ又是空的则更简记为α我们称任一个Γα为一个构形。

MQL的规则：

MQL中的一个推导就是由构形组成的一个有穷序列，其中任一个元素或是规则(R1)、(R2)、(R3)、(R6)、(R7)或(R8)的结论，或是以前引的元素为前提根据规则而得的结论。称α为由Γ可推导的，记成Γ┝α，当且仅当构形Γα是MQL中某个推导的最后一项。当α由空公式集可推导时，则称之为MQL的一个定理，记成┝α。可以证明，MQL演算相对于MQL的代数语义是相容的和完全的，即，我们有Γ┝aiffΓα。在MQL演算中附加下面的规则：

(R11)α∧(α∧(α∧β))β就得到OQL演算，它相对于OQL的代数语义是相容的和完全的。

MQL和OQL的代数语义可以很自然地推广到量子逻辑的量词理论上。