命令逻辑

研究由祈使句表达的命令的逻辑特征及其推理关系的哲学逻辑分支。通过引入命令算子!(一元的)以及相应的公理和规则对经典逻辑进行扩充而得到的系统。20世纪50年代开始了命令逻辑的研究，G．H．冯·赖特和N．雷谢尔对命令逻辑的建立和发展作出了贡献。

命令的逻辑特征 命令的发出需要有发令者、受令者，外加命令任务，即要求受令者执行的事务。在命令逻辑中，一般不考虑发令者，于是它所处理的命令由受令者(施动者)和命令任务二者构成，其典型形式是“王涛关窗户!”。命令可由陈述句和疑问句表达，但主要由祈使句来表达，尽管祈使句有时也用于断言和发问。命令有预设，即该命令得以实现的必要条件，因此命令可以表示为“α∧!β”，其中α为预设。命令的预设有真、假、空3种情况。当预设符合客观实际情况时，该预设真；当预设的对象不具有预设所断言的性质时，该预设假；当预设的对象根本不存在时，该预设空。只有预设为真的命令才能得以实现。命令本身无真假，但命令有终结，即命令发出后所得到的最终反应。有3种情况：①“实现”，即命令得到执行，受令者令行禁止。具有这一终结的命令，其预设必真。②“未实现”，即命令未得到执行，受令者无动于衷。具有这一终结的命令，其预设可真可假。③“反实现”，即命令无法执行，受令者不知所措。反实现的命令其预设为空。由于命令有终结，可以利用终结来定义命令的逻辑值，即：命令I真，当且仅当I的终结是实现；I假，当且仅当，I的终结是“未实现”；I无真值，当且仅当，I的终结是反实现。命令具有真值，是能够对命令进行逻辑处理的先决条件。

命令逻辑系统 命令逻辑Imp的符号由经典一阶语言的符号外加命令算子“!”组成。Imp的公式只据下述规则形成：①一阶演算的原子公式都是Imp的公式；②若α和β是Imp的公式，则α，α→β也是Imp的公式；③若α是Imp的公式且含有个体变元x的自由出现，则xa是Imp的公式；④若α是Imp的公式且不含有!，则!α是Imp的公式。其他符号如∧、∨、、可按通常方式引入，此外用下述定义引入符号i(准许)：

iα=df α

④使Imp中包括含!或i的新公式，并通过加有“且不含有”的限制保证了Imp中没有含重迭!和i的公式，因为含重迭命令算子的表达式找不到直观的对应物。并且，“!α”和“iα”中的α不能含有过去时态的子公式，因为象“你昨天下午来开会!”这样的命令是无意义的。

命令逻辑系统Imp构造如下：

R1(分离规则) 从α和a→β推出β

R2(!必然规则) 从α推出!α

公理模式：

①一阶逻辑的所有普遍有效式

②iα α

③!(α→β)→(!α→!β)

④!α→iα

⑤x!α→!xa

⑤是命令逻辑中的巴坎公式。Imp是一个带巴坎公式的命令谓词逻辑系统。去掉其中特别与量词有关的推演规则及公理，只保留经典命题逻辑的推演规则、公理以及上面的R2、②～④，所得到的系统是Imp的命题逻辑子系统，记为Imp*。显然，经典命题演算和谓词演算都是Imp的子系统。

命令逻辑的语义 命令本身无真假，可以通过命令的终结(即最终是否得到执行)来间接确定命令的真假，而命令的终结可表示为一将来时态命题。例如，“王涛关门!”的终结是“王涛将关门”，由后者的真值确定前者的真值。因此，命令逻辑的语义模型中必须引入时间点集T和T上的先后关系＜。这是在对命令进行语义解释时必须充分注意的。

命令逻辑Imp的语义解释是一个六元组结构：

(W，T，＜，R，D，V)

这里，W是可能世界w，w，……的非空集，T是时间点t，t，……的非空集，＜是T上的先后关系。D是个体域，D中的个体记为d，d，……。现规定，W中各个可能世界的个体都相同，但个体d，d，……在不同的可能世界w与w中，却可以有不同的性质。因此，n元谓词的值，就不是由n元组〈d，d，……，d〉……所组成的集，而是由n+1元组〈d，……，d，w〉……所组成的集。V是通常所述的赋值。W集上的R关系可理解“命令代替”或“共准许”关系。直观上，如果两个世界w和w有这种关系，则w对于w而言，其中的个体是极其守纪律的，w中要求必行的并非不适当的命令都得到执行；或者说，在wi中的命令能由w中描述命令行为得以实施的某个命题来代替。考虑到命令的代替者必须表述x在可能世界w在时刻t(t后于发令时间t)已执行命令行为，所以R必须结合时间关系，用R表示。RW×W，wRw表示在时刻t时w是w的命令代替。R必须满足下列条件：

①若wRw，则w和w在t时具有相同的历史，即对于t＜t的所有t来说，w(t)=w(t)。这里规定：只有w和w是在t时历史相同的，w才能是在t时w的命令代替。直观上这就是说，一个世界与其命令代替只不过是它们昨天诸事件的不同产物。

②若w和w在t时具有相同的历史，则wRw和wRw等值。

③wRw中的w至少在一个W集中(t是任意的)。这就是说，t时的命令α在w中成立，仅当受令者y在w在时间t(t＜t)已执行命令行为α。根据以上叙述，命令逻辑的一个模型就是一由原子公式集S和W×T的卡氏积映射到真值集｛1，0｝的函项M：

对每一个模型M，存在一个赋值V和可能世界与时间点的序偶〈w，t〉，使得我们能用〈〈w，t〉，V〉来代替M由此可以定义：命题α在命令解释结构〈W，T，＜，R，D，V〉的某些状况〈w，t〉中相对于命令模型M成立，或者说有一模型M满足α，当且仅当V(α，〈w，t〉)=1。命题α常真，就是说α在所有命令模型中为真。

Imp系统内公式的真值条件定义如下：

①对于任一个体变元x，V(x)=d；

②对于任一n元谓词，V()=｛〈d，……，d，w〉，〈d，……，d，w〉，……｝

③对于任一命题变项pi和任一u∈W且任一t∈T，V(p，〈w，t〉)=1或V(p，〈w，t〉)=0，但不能二者

④对于任一公式α和任一w∈W且任一t∈T，V(α，〈w，t〉)=当且仅当V(α，〈w，t〉)=0。

⑤对于任一公式α和β，任一w∈W且任一t∈T，V(α→β，〈w，t〉)=1，当且仅当V(α，〈w，t〉)=0或V(β，〈w，t〉)=1。

⑥对于任一公式α，任一w∈W且任一t∈T，V(!α，〈w，t〉)=1，当且仅当，对于所有wj∈W和所有t∈T，若wRw且t＜t，V(α，〈w，t〉)=1。

重要的语义概念如有效性、可满足性、可靠性、完全性等可按通常方式定义。可以证明，Imp对于延续模型类(其中的R具有下述性质：ww(wRw))是可靠并且完全的。