模态谓词逻辑

模态逻辑的量词理论，在模态命题逻辑系统中附加量词、个体词和谓词所产生的结果。古希腊哲学家亚里士多德早在公元前约300年就已开始研究一元谓词的模态逻辑，即模态三段论。但现代研究还是从C．I．刘易斯开始的，在他1932年与C．H．兰福德(Langford，1895～ )合著的《符号逻辑》一书中已经讨论到一些模态词与量词结合的命题形式。40年代中期，R．巴肯和R．卡尔纳普分别提出了模态谓词演算系统，他们的系统分别建立在刘易斯的系统S2和S5之上。50年代末S．克里普克关系语义出现以后，不少逻辑学家对模态谓词逻辑进行了研究，构造了众多的模态谓词逻辑系统。

模态谓词逻辑的语言可以由谓词字母，谓词常项E，项(包括无穷多个变项)，逻辑常项、、□、=和量词组成。各个谓词字母有它自己的变元个数，命题字母被看成零元谓词字母。项、合式公式等定义如通常所作。模态谓词逻辑系统建立于模态命题系统之上，因此下面恒假定已经有一个模态命题逻辑系统S，并且假定S对于某个克里普克标架类R(S)是可靠而又完全的。模态谓词逻辑系统QS在语义方面的基本概念是QS模型的概念。一个QS模型(W，R，d，q，a)是由R(S)中的一个标架(W，R)，W上的二个映射d和q，以及一个指派a组成的。映射d为W中的各个可能世界m指定个体域D，这些个体域的并集D(即，D)是不空的。映射q为W中各个可能世界m指定量词的变化范围Q，各个Q由从W到D的一些映射组成。从W到D的映射被称为个体概念，这也就是说系统QS要求对于个体概念进行量化。指派a为各个项t指定一个个体概念a(t)，为各个(n元的)谓词字母P指定W上的一个映射a(P)，a(P)把W中的各个可能世界m映成D上的一个n元关系a(P)(m)。a(t)和a(P)分别称为项t和谓词字母P的内涵。E是一个内涵性的谓词常项，也就是说它在各个可能世界的外延由个体概念组成，而不是由个体组成。指派a对于E总是指定映射q为其内涵，即，a(E)=q，因而对于W中各个可能世界m而言a(E)(m)=q(m)=Q。给定一个QS－模型(W，R，d，q，a)和W中的一个可能世界m，一合式公式A在m中的真值a(A)(m)是施归纳于A的结构上来定义的：

a(Et)(m)=1 iff a(t)∈Qm；

a()(m)=1 iff (a(t)(m)，…，a(t)(m))∈a(P)(m)；

a(t=t′)(m)=1 iff a(t)(m)=a(t′)(m)；

a(A)(m)=1 iff a(A)(m)≠1；

a(AB)(m)=1 iff a(A)(m)≠1或a(B)(m)=1；

a(□A)(m)=1 iff 对一切m′∈W，若mRm′则a(A)(m′)=1；

a(xA)(m)=1 iff 对一切f∈Q，a［f／x］(A)(m)=1。

这里，a［f／x］是为x指定f而其余跟a一样的指派。如果a(A)(m)=1，则称A在m中为真或成立。如果A在一个QS－模型的任一个可能世界中都成立，则称A在这模型上有效。如果A对于任一个QS－模型都有效，则称A是QS有效的。全体QS－有效公式决定了一个模态谓词逻辑系统QS，这系统的公理化是通过在系统S中附加下列有关等词和量词的公理和规则而得：

(ID)．t=t；从t=t′可推出PtPt′；这里Pt是一个原子合式公式；

(FUI)．从xPx可推出EtPt；

(FUG)．从A(EtPt)可推出AxPx，这里t是任一个不出现在AxPx中的项。

对于QS－模型附加一定的语义要求，就可得到种种不同的模态谓词逻辑系统。考虑下面3个要求：

(Rigid)．任一个项t都是刚性的，即，a(t)是常值映射；(刚性指派)

(Fixid)．各个可能世界的个体域相同，即，映射d是常值的；(不变个体域)

(Objectual)．对于任一个m∈W有Qm=；这里，CDm=｛∈D∧m∈W((m)=c)｝；(个体量化)

最后一个要求(Objectual)实际上是说，任一个可能世界m的量化范围Q由所有以D中个体为值的常值映射组成。如把个体与以此个体为值的常值映射视为同一，当满足要求(Objectual)时就可把Q和D视为同一，量化也就相当于是对个体进行的。相应地，a(A)(m)的递归定义中有关的部分可改述如下：

a(xA)(m)=1 iff c∈D(a［／x］(A)(m)=1)。

这里c就是以c为值的常值映射。同时满足(Objectual)和(Rigid)的QS－模型被称为QIR－模型，在所有QIR－模型上有效的公式被称为QIR－有效公式。全体QIR－有效公式决定了一个模态谓词逻辑系统QIR，这系统的公理化是通过在系统QS中附加下列规则而得：

(RT)．从t=t′可推出□t=t′；从t=t′可推出□t=t′。

系统QS和QIR关于量词的推理规则((FUI)和(FUG))实际上都是自由逻辑中关于量词的规则，不过也有使用一阶逻辑中关于量词的公理和规则的模态谓词逻辑系统。同时满足上述三个要求的QS－模型被称为Q1-模型，在所有Q1－模型上有效的公式被称为Q1－有效的。全体Q1－有效公式决定了一个使用一阶逻辑中关于的公理和规则的模态谓词逻辑系统Q1，这系统的公理化就是将系统QS的(FUI)和(FUG)换成一阶逻辑中关于的公理和规则，然后再附加巴肯公式(BF)为公理而得：

对于QS－模型还可以考虑其它种种语义要求，从而得到种种不同的模态谓词逻辑系统。证明模态谓词逻辑系统的完全性要比证明模态命题逻辑系统和一阶逻辑的完全性难得多，而且也没有普遍适用的方法，有些模态谓词逻辑系统甚至还是不完全的。

模态谓词逻辑对哲学讨论有用，但本身也是哲学争议很多的研究领域。模态谓词逻辑的研究方兴未艾，有待进一步探索。