皮亚诺公理

G皮亚诺在1889年提出的一组关于自然数的公理。根据皮亚诺本人的表示，他的公理来自R．戴德金，但在文献中习惯称为皮亚诺公理。这组公理共有5条，其中的基本概念是：0，数，后继。公理是：

P1．0是数。

P2．任何数的后继是数。

P3．没有两个数有同一后继。

P4．0不是任何数的后继。

P5．对每一集合S而言，如果0属于S，并且每一属于S的数的后继也属于S，则所有的数属于S。

公理P5称为归纳公理(数学归纳原则)。皮亚诺公理是范畴的，即任意两个模型是同构的。从皮亚诺公理可以证明初等数论的所有定理(即在证明中不需要数学分析工具的)。皮亚诺公理P5不能直接在一阶逻辑中形式化，因为在一阶语言中没有集合变元。P5的另一种形式：如果0有某个性质，并且如果一自然数有此性质则其后继也有此性质，则所有自然数有此性质。这个形式的归纳公理也不能在一阶语言中完全表达，因为没有以自然数的性质为变域的变元。在一阶逻辑中将归纳公理形式化时，是用一个公理模式，同时增加关于+(加)，·(乘)的递归定义等式作公理。这样形式化而得的系统称为皮亚诺算术，记作PA。PA中的归纳公理模式为：A(0)∧x(A(x)→A(x′))→xA(x)。

其中x′表示x的后继，A(x)是PA语言中含一个个体变元的公式。上述公理模式代表无穷多个公理，即对PA的任一公式A，都是一个公理。这个归纳公理模式与归纳公理P5还有一个很大的区别。P5是对于所有自然数集合的公理，自然数集合的集合是不可数无穷集。而PA中的归纳公理模式中，涉及的是PA的公式，PA的公式的集合是可数的。PA不是范畴的，有非同构的模型。