三段论

旧称直言三段论，严复曾译为连珠。传统逻辑的主要研究的一类推理，也是一元谓词逻辑的重要内容。

三段论的定义 三段论是这样一类推理：由且只由3个直言命题所组成，其中两个命题是前提；并且有且只有3个不同的词项作为这3个命题的主谓项；而且每个词项在两个命题中各出现一次。结论的主项称为小项(小词)，以S代表之。结论的谓项称为大项(大词)，以P代表之。在两前提中出现的词项称为中项(中词)，以M代表之。包含小项的前提叫小前提，包含大项的前提叫大前提。大、小项合称端项(端词)。

三段论的基本规则 一个三段论是有效的，当且仅当它符合以下5条基本规则：①M至少周延一次。②S或P如果在前提中不周延，则在结论中也不周延。③两前提并非都是否定命题。④如果有一个前提是否定命题则结论也是否定命题。⑤如果结论是否定命题则有一个前提是否定命题。由以上基本规则可推出若干非基本规则。如：①两前提并非都是特称命题。②如果有一个前提是特称命题则结论也是特称命题。③并非大前提是特称命题而小前提是否定命题。

三段论的格和式 根据S、M、P在前提中作主谓项的不同情况，三段论分为以下4个格。推理的有效性与前提的次序无关，仅仅按习惯大前提写在小前提前面。以下是4个格的图式：

组成三段论的直言命题共有A、E、I、O4种不同的形式。以大前提、小前提、结论的形式将三者排列起来，就是三段论的式。如3个命题都是全称肯定命题，就记为AAA。三段论共有AAA，AAE，……，OOO共4×4×4=64个式。(有的式在任何格中都无效，如AAE。有的式在某些格中有效，在某些格中无效，如AAA。只有EIO在每一格中都有效。三段论的格和式结合起来，就是三段论的形式。三段论共有64×4=256个形式，但根据三段论的基本规则，传统逻辑认为只有24个形式是有效的。它们是：

欧洲中世纪的逻辑学家为了帮助人们记忆有效的三段论形式及其化归方法，用拉丁文编了一些口诀，并在大部分单词中嵌入了代表有效式的字母，这些单词就是各有效三段论的名称。如barbara中就嵌入了AAA。这里所列的名称，采自较为常见的一首口诀。

传统逻辑还进一步提出了三段论各格的规则，但是这些规则不仅都可以从基本规则推出，而且仅仅是该格三段论有效的必要条件，而非充分条件。第一格的规则有：①大前提全称。②小前提肯定。第二格的规则有：①有一否定前提。②大前提全称。第三格的规则有：①小前提肯定。②结论特称。第四格的规则有：①如有否定前提则大前提全称。②如大前提肯定则小前提全称。③如小前提肯定则结论特称。

三段论的化归 利用大小前提对换，换质、换位，对当关系和反三段论等，以第一格三段论的有效形式；证明第二、三、四格三段论的有效形式。并以三段论公理来说明第一格三段论各式的有效性。这就是传统逻辑的三段论化归理论。传统逻辑把24个三段论有效形式组成一个公理系统。这个系统是完全的、无矛盾的、可判定的。但是传统逻辑所谓三段论公理，其中有的提法是错误的，如：事物的属性的属性是事物的属性。有些提法可以说得通，如：凡对一类事物有所断定则对该类事物的任意部分也可以有所断定。这条公理也称曲全公论，或遍有遍无公理，或全和零原则。在三段论24个有效形式之外另立公理，是不可取的。此外，传统逻辑把其他推理都化归为三段论，也是行不通的。

包含单称命题的三段论 在推理理论中，传统逻辑把单称命题当作全称命题处理。把“凡人皆有死，苏格拉底是人，所以，苏格拉底有死”当作barbara。其实此推理的小前提和结论都不是A命题。上述推理虽然是有效的，但把它当作barbara，就混淆了作为个体的苏格拉底，和以苏格拉底为唯一元素的单元集。当三段论中单称命题的谓项也是专名时，把单称命题当作全称命题处理就可能行不通。如：“鲁迅是伟大作家，鲁迅是周树人，所以，周树人是伟大作家。”显然是有效推理。若把此推理的小前提和结论当作A命题看待，它却是无效的第三格AAA式三段论。包含单称命题(仅限于以专名为主项，谓项不是专名)的三段论，也叫准三段论，其有效形式有且只有6个(s，m代表专名)：

所有M是P　　　　　所有M不是P

s是M　　　　　　　s是M

所以，s是P　　　　所以，s不是P

所有P是M　　　　　所有P不是M

s不是M　　　　　　s是M

所以，s不是P　　　所以，s不是P

m是P　　　　　　　m不是P

m是S　　　　　　　m是S

所以，有S是P　　　所以，有S不是P

所谓省略三段论 三段论在用语言表达时如果省略了一个命题，就叫做省略三段论，它实际上不是思维形式方面的问题。例如：“马克思主义不怕批评，因为真理是不怕批评的。”这是一个准三段论，省略了小前提“马克思主义是真理。”为了检查一个省略三段论是否有效，必须把省略的部分补充出来，然后对己恢复的三段论应用规则去检查。由于一个三段论的每个词项都在两上命题中各出现一次，只需把在两命题中各出现一次的概念联结起来，就可以得到被省略的命题。但是补充出来的命题往往不是唯一的。

复合三段论 若干三段论的联合应用。有3种不同的情况。

①前后三段论 又称复合三段论。两个三段论的结合，其中第一个三段论叫做前三段论，第二个三段论叫做后三段论，前三段论的结论为后三段论的前提之一。如：

前三段论的结论是后三段论的大前提的前后三段论，称为前进的前后三段论。前三段论的结论是后三段论的小前提的前后三段论，称为后退的前后三段论。

②连锁推理 旧译堆垛推论。这是一系列三段论，除最后的结论外，其他结论都被省略，而且每两相邻的命题都有一共同的词项。连锁推理有两种：1．后退的，即亚里士多德式：

　所有A是B，

　所有B是C，

　所有C是D，

　所以，所有A是D。

其特殊规则是：只有最后前提可以是否定命题。只有第一个前提可以是特称命题。

2．前进的，即哥克兰尼(Goclenius， R．德国逻辑学家，1547～1628)式：

　所有C是D，

　所有B是C，

　所有A是B，

　所以，所有A是D。

其特殊规则是：只有第一前提可以是否定命题。只有最后前提可以是特称命题。根据演绎推理的传递性，可以把连锁推理看成是没有省略任何命题的推理。

③带证式 严复曾译为暗证。每一前三段论是省略三段论的复合三段论。如：

　凡M是P，因为凡Q是P，省略凡M是Q。

　凡S是M，因为凡S是R，省略凡R是M。

　所以，凡S是P。

三段论理论简史 古希腊亚里士多德首创关于三段论的系统理论。他根据中项对大项、小项的不同关系，把三段论分成3个格。他用假言命题来陈述每一个三段论的有效形式。例如，关于barbara他是这样说的：“如果P述说所有的M，M述说所有的S，则P必然述说所有的S。”(变项从俗。)亚里士多德提出14个三段论有效形式。他还为三段论14个有效形式都表述了各自的规则，并把后面12个形式从头两个形式推导出来，从而把三段论有效形式组成人类历史上最早的演绎系统之一。(参见亚里士多德的直言三段论)从古代后期的逻辑学家盖伦，A．M．T．S．波爱修开始，把三段论形式表述为推理模式，一直保存在传统逻辑中。波爱修还提出了三段论公理的思想。欧洲中世纪逻辑学家系统地引进和详细地研究了第四格三段论。他们还研究了词项所指称的事物的存在问题，即空集问题，并提出了排除空集的方法，他们还把单称命题引入了三段论。波兰现代逻辑学家J．卢卡西维茨开始，建立了各种形式化的三段论系统，把对亚里士多德三段论理论的研究提高到了新的水平。

现代逻辑指出三段论的小项可能是空词项。因此9个由两全称前提得特称结论的三段论形式都是无效的。并进而指出只有增加陈述小项所指不是空集的前提，这9个形式才是有效的。现代逻辑认为三段论有效的充分必要条件(即基本规则)应为：①M恰好周延一次。②S，P各自在前提和结论中的周延情况相同。③前提和结论中的否定命题数目相同。还可以有一条导出的规则：前提和结论中的特称命题数目相同。三段论只是一元谓词逻辑中的一小部分。三段论15个有效形式可以从一元谓词逻辑的以下2条定理导出：①x(M(x)→P(x))∧x(S(x)→M(x))→x(S(x)→P(x))。②x(M(x)→P(x))∧x(S(x)∧M(x))→x(S(x)∧P(x))。