序数

集合论的基本概念之一，是自然数的推广。G．康托尔在创立集合论的过程中，建立了偏序、全序和良序的概念，并且提出序的一抽象概念叫做序型(参见偏序集合、线序集合、良序集合和序型)，并把序数定义为良序集合的序型(参见素朴集合论)。冯·诺伊曼改进了序数的概念，把它定义为关于关系∈具有良序性与传递性的集合，具体说，一集合x，如果它具有下述三条性质：

①∈连接性：对于任意的y，z∈x，都有y∈z或者y=z，或者z∈y成立；

②∈传递性：对于任意的y，z，如果有性质y∈x，z∈y，则有z∈x；

③正则性：对于任意的集合yx，如果y不空，则有z∈y使得z∩y=Φ，即z与y不交。这时，常称z为y的极小元；

则称集合x为一序数。

由于上述条件①与③与关于∈良序性是等价的。在公理集合论中，人们总是要求正则性，并且常常把正则性作为一条公理(参见公理集合论)。因此，序数的定义只求满足①、②就够了。

关于序数还可以有如下等价定义：

(1)(自然数)0是一序数；

(2)若α是一序数，则α+1也是序数；

(3)若S是序数的一集合，则∪S是一序数；

(4)任一序数都是经(1)～(3)获得的。

其中α+1是α∪｛α｝，∪S为S的并集合。由(1)，(2)可以获得任一自然数都是一序数，由(3)可知ω是一序数。事实上，它是最小的无穷序数。再使用(2)，可知ω+1，ω+2，ω+3，…，ω+n，…，都是序数，令S为集合

｛ω，ω+1，…，ω+n，……｝，

则∪S是一序数，亦即ω+ω，或记作ω·2。须注意S，说S是一集合，严格地讲这就要求使用替换公理了。由上述程序继续下去，就是(ω·2)+1，…，(ω·2)+n，…，ω·3，…，ω·ω(即ω)，ω+1，…，ω，…，ω，ω+1，…，ω，…，从一对应观点来看，这些序数都与ω是一一对应的，是可数序数，令S为所有可数序数组成的集合，即

S=｛x｜x为一序数且x与ω一一对应｝

因为∪S是一序数，显然它不在S中，事实上，它是第一个不可数序数，记做ω。继续下去，可以获得ω+1，…，ω+ω，…，ω·ω，…，ω…，ω，……。其中，ω，ω，ω，…，ω，…，ω，…，都称之为开始序数。

序数的算术 对于取定的序数α，递归地定义α+β如下：α+0=α，α+β=Sup｛α+γ｜γ＜β｝，其中Sup为上确界函数，它的定义为：设S为一序数集合，满足下述条件的最小序数α

任一序数β，β∈S→β＜α

称为S的上确界(或最小上界)，并记作SupS。

现在递归地定义α·β如下：α·0=0，若β为一后继序数，即有一序数γ，使得β=γ+1，则α·β=α·γ+α；若β为一极限序数，令α·β=Sup｛α·γ｜γ＜β｝，并称α·β为序数α，β的乘积。

现在递归地定义两个序数的方幂如下：α=1；α=α·α；当β为一极限序数时，令α=Sup｛α｜γ＜β｝。

序数的加、乘都不满足交换律，例如1+ω=ω≠ω+1，2·ω=ω≠ω·2，它们有

①结合律：

　(α+β)+γ=α+(β+γ)，

　(α·β)·γ=α·(β·γ)，

②左分配律：

　α·(β+γ)=α·β+α·γ

右分配律也不成立，如1·ω+1·ω=ω·2≠ω=(1+1)·ω；

序数的幂满足下述性质：

③幂的幂：

　(α)=α；

④同底幂的积：

　α·α=α

序数的共尾性 对于任意的序数α、β，如果β≤α，并且存在一严格单调递增的序数函数f，f∶β→α，使得对于每一α∈α，都有序数β∈β，满足条件：f(β)大于或等于α，亦即α≤f(β)，则称序数序α是共尾于序数β，记做cof(α，β)，称cof(α，β)为共尾关系。

不难验证共尾关系是自反的和传递的。

对于任意的序数α，使得cof(α，β)成立的最小序数β叫做α的共尾性特征数，并把它记做cf(α)，可以直接证明，(1)cf(α)≤α，(2)cf(α+1)=1，(3)cof(α，cf(α))。并且cf(0)=0，cf(ω)=ω，cf(ω·2)=ω。

在集合论中，序数是极重要的，这不仅因为它是自然数的推广、良序集合的代表，而且在几乎所有的证明中起着关键的作用。