亚里士多德的直言三段论理论

亚里士多德构造的第一个演绎系统。该系统共有3个格，14个有效的式。一个三段论式由三个命题组成，两个命题是前提，一个命题是结论。

第一格共有4个有效式：①如果A谓述每个B并且B谓述每个C，那么A也必然谓述每个C。②如果A不谓述任何B并且B谓述每个C，那么A必然不谓述任何C。③如果A属于每个B并且B属于某个C，那么A必然属于某个C。④如果A不属于任何B并且B属于某个C，那么A必然不属于某个C。第二格共有4个有效式：1，如果M不谓述任何N，而谓述每个O，那么N必然不属于任何O。2，如果M属于每个N，而不属于任何O，那么N必然不属于任何O。3，如果M不属于任何N，而属于某个O，那么N必然不属于某个O。4，如果M属于每个N，而不属于某个O，那么N必然不属于某个O。第三格共有6个有效式：1，如果P和R都属于每个S，那么P必然属于某个R。2，如果R属于每个S并且P不属于任何S，那么P必然不属于某个R。3，如果R属于每个S并且P属于某个S，那么P必然属于某个R。4，如果R属于某个S并且P属于每个S，那么P必然属于某个R。5，如果R属于每个S并且P不属于某个S，那么P必然不属于某个R。6，如果P不属于任何S并且R属于某个S，那么P不属于某个R。

亚里士多德称上述14个式为有效的三段论式。在这14个式中，他称第一格的4个式为完善的，称第二格和第三格的10个式为不完善的。通过换位法、归谬法或显示法可以把第二格和第三格的式化归为第一格的式。现代逻辑学家对此主要有两种看法，一种看法认为，亚里士多德的三段论是一个公理系统，第一格的式是公理，第二格和第三格的式是推出的定理。另一种看法认为，亚里士多德的三段论是一个自然演绎系统，第一格的式是推理规则，第二格和第三格的式是推出的定理。