阿佩尔方程

法国数学家 P.-.阿佩尔导出的适用于非完整系统的重要动力学方程，其形式为：

　　　(1)

式中G为吉布斯函数，它是加速度动能式用准加速度(s =1，2，...，N )表示之式；为对应于准坐标π的广义力;N是系统的自由度。由于完整系统是非完整系统的特例，因此，凡是适用于非完整系统的动力学方程，亦适用于完整系统。

假定一个有n个质点的非完整系统，它含l个有限约束

和r个微分约束

　　　　(2)

可先利用有限约束，将3n个x用 m＝3n-l个广义坐标q，q，...，q表示，r个微分约束用q和(i=1，2，...，m)表示。由此可变换式(2)为：

，　　　(3)

式中m个(j=1，2，...，m)只有N(=m-r)个是独立的。为了更一般化，采用m个的线性式组成N个准速度来描述这系统，即

。

由于非完整系统的微分约束(3)是不可积的，所以坐标π不一定存在，这就是π是准坐标名称的由来。的时间导数称为准加速度。由于式(1)左边是对的偏导数，所以G中一切不含的项都可以舍去不写，从而使计算G函数的工作量大为减少。

圆球、圆轮在粗糙面上无滑动地滚动，溜冰鞋在冰上的滑行等都是非完整系统力学问题的例子。

参考书目 W.D.MacMillan，Dynamics of Rigid Bodies，McGraw-Hill，New York，1936. E.T.Whittaker，A Treatise on the Analytical Dynamicsof Particles and Rigid Bodies，4th ed.，Cambridge Univ.Press，Cambridge，1952. 汪家訸编：《分析力学》，高等教育出版社，北京，1983。