二体问题

满足下述条件的两个质点的运动问题：①不考虑其他物体的引力；②它们之间的相互作用力沿两点的连线，力的大小是两点之间距离的函数。二体问题可化为一个等价的单体问题。天体力学中的双星、行星及其卫星、恒星和行星等的运动，物理学中的双原子分子振动都属于或近似地属于二体问题。太阳的质量为太阳系中其他星体质量总和的七百多倍，所以太阳是太阳系的中心天体。每颗行星同太阳近似形成一个二体系统，其他行星对该行星的引力影响仅表现为对它绕太阳运行轨道的微小摄动。因此，天体力学的研究都是以二体问题的解为基础的。

二体问题可以简化为一个质点在有心力场中的运动。设有两个质量分别为m和m的质点Q和Q，其相互作用力为f(r)，式中r=QQ为两质点之间的距离。取空间某定点O为坐标原点(图1)并记u为由Q指向Q的单位矢量。按照牛顿第二定律，有：

(1)

(2)

两方程相加并积分，可得质心运动定理，即质心C为静止或作匀速直线运动。如以C为原点作平动坐标系Cx′y′z′，则此系为惯性坐标系。

将式(1)乘以m减去式(2)乘以m，得：

(3)

记r为从Q到Q的矢量，则，；又记。于是式(3)可写作：

(4)

上式是一质量为 的虚拟质点受到与r方向相反的引力作用时的运动微分方程，称为折合质量。式(4)表示质量为μ的Q点相对Q的运动。考虑到质心C为静止或作匀速直线运动，就能求出Q和Q的运动。这样，二体问题就简化为只涉及一个质量为μ的质点的运动的单体问题。

此外，由于Cx′y′z′，是惯性系，因而也可以把二体问题化为两个质点对质心C的运动问题。取质心C作为坐标系原点O，则有：

，(5)

因，可利用式(5)写出：

，(6)

。(7)

将式(1)和(2)分别乘以m和m，并应用式(6)和(7)、和，得：

这两个方程形式相同，说明Q和Q的轨道形状相似(图2)。故二体问题就化为两个单体对其质心的运动问题。

对牛顿万有引力的情况，即式(1)和式(2)成为：

(8)

(9)

即Q的运动相当于质量为的虚拟质点固定在原点时以万有引力吸引m而产生的运动；Q的运动相当于质量为的虚拟质点固定在原点时吸引m而产生的运动。

在万有引力情况下，两质点之间相对运动的二体问题很容易转化为单体问题。将式(1)乘以m减式(2)乘以m，得：

，

此式表明：质量为两质量之和的Q点以万有引力吸引质量为m的Q点而产生运动，或Q点吸引Q时也有类似的关系。