非线性弹性力学

弹性力学的一个分支，又称非线性弹性理论，是经典线性弹性力学的推广。非线性弹性力学中存在两种非线性：①物理非线性，即应力-应变(见应力和应变)关系中的非线性。橡皮、高分子聚合物和生物软组织等材料的应力-应变关系中有这种非线性。②几何非线性，即应变-变形梯度关系中的非线性。在薄板、薄壳、细杆、薄壁杆件的大变形问题和稳定问题中存在几何非线性。上述两种非线性是彼此无关的，所以，非线性弹性力学问题分为三类：物理线性、几何非线性问题；物理非线性、几何线性问题；物理非线性、几何非线性问题。

研究简史  早在1894年，J.芬格就提出超弹性体的有限变形理论。有限变形理论的方程冗长、复杂，并具有强烈的非线性，当时的人们感到在数学上进行一般性的讨论没有多大希望。所以这方面的研究工作长时间进展不大。1940年M.穆尼通过大量实验，提出某些类型的橡皮的弹性势函数表达式，从而把非线性弹性理论中难题之一的弹性势函数的形式问题向前推进了一步，并证实橡皮是几乎不可压缩的材料。1948年R.S.里夫林在任意形式的贮能函数下，得到不可压缩弹性体的几个简单而重要问题的精确解。将它们应用于橡胶制品，即使橡胶的伸长为原长的两三倍，精度仍能达到百分之几。在这一成就的鼓舞下，学者们重新开始探讨有限变形弹性理论，并导致了整个理性力学的蓬勃发展。此后，非线性弹性理论就成为理性力学的重要组成部分。1952年起C.特鲁斯德尔、W.诺尔、B.D.科勒曼、J.L.埃里克森、M.E.格廷、A.C.爱林根以及美籍华人王钊诚在非线性弹性力学方面作出较大贡献，中国的郭仲衡于1962～1963年连续发表了多篇论文。1972年奥登等人在用有限元法进行数值解方面做了大量有成效的工作，从而使得非线性弹性力学在工程实际中得到较广泛的应用。但是非线性弹性力学无论在理论方面、精确解方面还是数值近似解方面都比线性弹性力学难度大，所以至今远不如线性弹性力学成熟，有许多问题尚需进一步探讨。非线性弹性力学的基本概念和方程比较复杂，在分析中大多采用张量这一数学工具。

变形描述  在讨论非线性弹性力学问题时，取初始时刻t物体在三维空间中所占的区域为参考构形(见构形)，在其上取笛卡儿坐标OXXX。在时刻t物体所占的区域为现时构形，在其上取笛卡儿坐标Oxxx。

由方程

x＝χ(X，t) (k，K＝1，2，3)，(1)

所描述的叫运动。如果只考虑某固定时刻，就有所谓“变形”，即

x＝χ(X)。(2)

对于有单值逆变换的情形，存在

X＝к(x，t)。(3)

在时刻t物质点的位置矢量为X，在运动过程中，该点在时刻t的位置矢量为x，则

x＝X+u，(4)

其中u是该物质点的位移矢量，它在OXXX和Oxxx中的坐标分别记为u和u。

必须区分使用OXXX和Oxxx坐标，这是非线性弹性力学区别于线性弹性力学的基本特征之一。

描述物体变形的量有变形梯度，在OXXX中，其定义为：

，(5)

其中δкK为克罗内克符号；u为位移分量的偏导数，即。变形梯度既包含纯变形又包含刚性转动，为把纯变形从其中分解出来，须采用极分解定理，相应于左分解和右分解分别得到左柯西－格林应变c(又称芬格应变)和右柯西-格林应变 C(又称格林应变)。而在Oxxx中有逆应变 C(称为皮奥拉应变)和c(称为柯西应变)。为了使略去非线性项后所得应变与线性弹性力学中的应变相同，在坐标OXXX中还定义了拉格朗日应变E，相应于坐标Oxxx则定义欧拉应变e，这六种应变在理性力学中称为变形张量。

近代非线性弹性力学采用变形梯度作为最基本变形量，其他应变都可由它定义或导出。非线性弹性力学较常使用上述六种应变，而线性弹性力学只使用一种应变，即在 E中略去位移偏导数的二次项(非线性项)后的应变。

几何方程  非线性弹性力学的几何方程为：

，(6)

，(7)

其中

如果u《1，u《1，则可略去高价小量，而得到：

，(8)

。(9)

非线性弹性力学的几何方程(6)和(7)是关于位移偏导数的非线性方程，所以是几何非线性的。而方程(8)和(9)是线性弹性力学中的几何方程。在非线性弹性力学中(6)和(7)是有区别的，而在线性弹性力学中(8)和(9)没有区别。

非线性弹性力学中应变协调方程的物理意义、数学意义与线性弹性力学中的相同。但由于几何方程比较复杂，故需要采用张量的方法，利用黎曼曲率张量在欧氏空间中为零的条件导出应变协调方程。

应力和平衡方程  在变形后的构形上定义应力是最自然的，这种应力称为柯西应力(或欧拉应力)t。但因变形后的构形是未知的(待求的)，故取变形前的构形上单位面积的面力作为应力的定义，这种应力称为皮奥拉应力(或拉格朗日应力、第一皮奥拉－基尔霍夫应力)τкK。由于τкK是非对称的，故又定义对称的应力T，称为基尔霍夫应力(或第二皮奥拉－基尔霍夫应力)。此外还有另一种对称的应力，称为对流应力。t是真实应力，τкK、T、是名义应力。非线性弹性力学中，有上述四种应力，而线性弹性力学中只有一种应力。在线性化的近似假设下，非线性弹性力学的四种应力都化为一种应力，即线性弹性力学中应力。

由于有多种形式的应力，所以相应地有多种形式的动力学方程，它们都描述变形后物体构形中微体的动量守恒条件和动量矩守恒条件。由于τкK、T、和t中含有变形梯度，故在平衡微分方程中含有位移的偏导数，而在线性弹性力学中，平衡微分方程不含位移偏导数。由于平衡方程中应力与位移耦合，所以非线性弹性力学同线性弹性力学相比在数学处理上要繁难得多。

本构方程  在线性弹性力学中，本构方程(即应力-应变关系)只有一种形式，即胡克定律给出的方程，其图像是一条直线。在非线性问题中，由于应力和应变都有多种形式，所以有多种本构方程，其图像是曲线(非线性)，但加载、卸载是同一条曲线(与塑性力学不同)。究竟哪种应力跟哪种应变对应，就要从基本的本构公理(见本构关系)出发来考虑。

非线性弹性力学主要通过以下两个基本模型建立本构方程：①弹性体理想模型。该模型假设：存在各处应力为零的自然状态，初始构形就取在自然状态上，材料行为只与相对于自然状态的现时变形状态有关。可以通过两种途径来建立相应的本构方程。一种是格林方法，即从势能函数出发来得到弹性体的本构方程。弹性势是任何一个应变均可作为自变量的标量函数。具有弹性势的弹性体称为超弹性体或格林意义下的弹性体。另一种是柯西方法，从弹性体的特性即“一定的应力状态对应于一定的应变状态”出发，直接假设应力－应变函数关系，再通过实验确定其中系数。直接由这种应力－应变函数关系描述的物体叫柯西意义下的弹性体，或直接叫作弹性体。各向同性超弹性体一定是各向同性弹性体，但弹性体只有当其应力- 应变关系中的系数满足一定的关系时才是超弹性体，才具有相应的弹性势。在这个意义上说来，柯西弹性体是一个比超弹性体更为广泛的概念。②低弹性体模型。1955年特鲁斯德尔从时间变化率出发，为体现简单变率理论的理想模型而引出低弹性的概念。应力的本构导数是变形速率的线性齐次函数的物体叫作低弹性体。诺尔证明应力关系可逆的各向同性弹性体是低弹性体。各向异性弹性体不是低弹性体。小应变低弹性体是弹性体。

弹性体、超弹性体都假设存在一个自然状态，而低弹性体完全不需要这个假设。低弹性理论和有限弹性应变经典理论体现不同的弹性概念，其中任何一个不能包括另一个。在几何线性、物理线性和存在自然状态的前提下，低弹性、弹性、超弹性三者等价。

其他问题  非线性弹性力学中的各变分原理都可从虚功原理统一导出，方法和步骤同线性弹性力学中的相同。非线性弹性力学的应力、应变形式多种多样，对应的变分原理的形式也比线性弹性力学中多。在非线性弹性理论中，是否存在线性理论中那种应力场是唯一独立变量的余能原理，是一个近年来引起广泛兴趣的问题。平衡方程中应力与位移的耦合，使这一问题至今尚未彻底解决，甚至问题的这种提法是否恰当也有待研究。

参考书目 C.Truesdell and W. Noll，The Non-linear Fields Theoriesof Mechanics， Handbuch der Physik，Bd.Ⅲ／3，Springer-Verlag，Berlin，Heidelberg，New York，1965. 郭仲衡著：《非线性弹性理论》，科学出版社，北京，1980。