极分解定理

又称乘法分解定理，它表示，任一可逆的二阶张量具有下列两个唯一的相乘分解：

式中为正交张量，而和为对称正定张量。下列关系成立：

式中为的转置。

若把极分解定理应用于变形梯度，则为表示纯转动的转动张量，而和分别为表示纯变形的右和左伸长张量。在这种情况下，右分解表示首先进行纯变形，然后再进行转动，从而得到变形梯度；而左分解则表示首先进行转动，然后再进行纯变形，从而得到变形梯度。和是一个平方根张量。一般用分析方法求解张量的平方根是不容易的，但是关系

和

是容易由求得的。和分别称为右和左柯西-格林张量(见应变张量)。类似地，把极分解定理应用于相对变形梯度，则有：

，

式中为相对转动张量，而和分别为右和左相对伸长张量。于是

和

分别称为右和左相对柯西-格林张量。