加权残数法

一种可以直接从微(积)分方程式求得近似解的数学方法，在计算力学中应用较多。其要点是：先假设一个称为试函数的近似函数，把它代入要求解的微分方程和边界条件或初值条件；这样的函数一般不能完全满足这些条件，因而出现误差，即出现残数或残值；选择一定的权函数与残数相乘，列出在解的域内消灭残数的方程式，就可以把求解微分方程的问题转化为数值计算问题，从而得出近似解。

如某一应用科学问题的控制微分方程式和边界条件分别为：

Fu-f＝0 (V域)，(1)

Gu-g＝0 (S域)，(2)

式中u为待求函数；F和G为算符；f和g为不含u的项。设试函数为：

(3)

式中C为待定参数或函数。式(3)一般不能满足式(1)和式(2)，从而出现内部残数R和边界函数R，即

(4)

(5)

为消灭残数，分别以内部权函数W和边界权函数W乘式(4)和(5)，列出消除残数的方程：

(6)

(7)

它们将转变为代数方程式，从这些方程式求出C，就获得满足式(1)和式(2)的近似解(3)。

若解(3)中所选择的试函数项N事先已能满足式(2)，则只需用式(6)消除残数，这种方法称为内部法。若N已满足式(1)，则只需用式(7)消灭残数，这种方法称为边界法。若N既不满足式(1)，又不满足式(2)，则须用式(6)和式(7)，这种方法称为混合法。

作为一种数值计算方法，加权残数法具有下述优点：①原理的统一性：寻求控制微分方程式的近似解，不分问题的类型和性质；②应用的广泛性：数学、固体力学、流体力学、热传导、核物理和化工等多学科的问题都能应用；既可解边值问题、特征值问题和初值问题，也可解非线性问题；③不依赖于变分原理：在泛函不存在时也能解题；④方法一般比较简单、快速、准确，工作量少，程序简单。