结构动力学

结构力学的一个分支，着重研究结构对于动载荷的响应(如位移、应力等的时间历程)，以便确定结构的承载能力和动力学特性，或为改善结构的性能提供依据。结构动力学同结构静力学的主要区别在于它要考虑结构因振动而产生的惯性力(见达朗伯原理)和阻尼力，而同刚体动力学之间的主要区别在于要考虑结构因变形而产生的弹性力。在外加动载荷作用下，结构会发生振动，它的任一部分或者任意取出的一个微体将在外载荷、弹性力、惯性力和阻尼力的共同作用下处于达朗伯原理意义下的平衡状态。通过位移及其导数来表示这种关系就得到运动方程。运动方程的建立、求解和分析是结构动力学理论研究的基本内容。

发展简况  任何结构所受的载荷都具有不同程度的动载荷性质，有不少结构主要在振动环境下工作。因此，结构动力学的内容十分丰富，涉及面很广，其研究对象遍及土木、机械、运输、航空和航天等工程领域，而研究方法又同材料学、数学和力学密切相关。早在18世纪后半叶，瑞士的丹尼尔第一·伯努利(见伯努利家族)首先研究了棱柱杆侧向振动的微分方程。瑞士的L.欧拉求解了这个方程并建立了计算棱柱杆侧向振动的固有频率的公式。1877～1878年间，英国的瑞利发表了两卷《声学理论》，书中具体地讨论了诸如杆、梁、轴、板等弹性体的振动理论，并提出了著名的瑞利方法(或称瑞利原理)。1908年瑞士的W.里兹提出了一个求解变分问题的近似方法，后来被称作瑞利－里兹法。这个方法实际上推广了瑞利方法，在很多学科中(包括结构动力学在内)发挥了巨大的作用。1928年，S.P.铁木辛柯发表了《工程中的振动问题》一书，总结了弹性体振动理论及其在工程中应用的情况。近几十年来，由于工程实践的需要和科学探索的兴趣，人们进行了大量的实验和理论研究工作，使这门学科在实践和理论分析上都获得了高度的发展。结构动力学的研究内容包括实验研究和理论分析两个方面。

实验研究  在18～19世纪，大量的实验研究不仅为理论分析奠定了基础，而且成为当时解决实际工程问题的主要手段。例如，19世纪对桥梁和路轨在移动载荷作用下的响应所作的实验，曾对铁路运输工程的发展作出重要贡献。即使在理论分析已较为完善的今天，实验仍不可缺少。20世纪60年代，美国在研制土星V运载火箭时就不惜耗费50万美元，制作一个1/10的动力相似模型，以测定其动力特性。至于材料和结构阻尼特性的测定、振动环境试验等工作，则主要依靠实验研究。

结构动力学实验中有以下几个课题：①材料性能的测定：包括测定动态应力-应变曲线、 冲击载荷作用下的极限强度(见材料的力学性能)、重复载荷作用下的疲劳强度(见疲劳)、材料或结构的阻尼特性等；②结构动力相似模型的研究：包括各种情况下的动力相似条件、相似模型的设计和制作等；③结构固有(自由)振动参量的测定：对结构或其相似模型施加一定方式的激励，如频率可调的简谐力、冲击力或随机力，然后根据响应确定结构的固有频率、振动形态(振型)以及振型阻尼系数等参量；④振动环境试验：在现场或在能模拟振动环境的试验台上对结构或其相似模型进行振动试验，用以确定结构的工作可靠性或使用寿命；⑤其他专业性试验。

理论分析  结构的质量是一连续的空间函数，因此结构的运动方程是一个含有空间坐标和时间的偏微分方程，只是对某些简单结构，这些方程才有可能直接求解。对于绝大多数实际结构，在工程分析中主要采用数值方法。作法是先把结构离散化成为一个具有有限自由度的数学模型，在确定载荷后，导出模型的运动方程，然后选用合适的方法求解。

数学模型  将结构离散化的方法主要有以下三种：①集聚质量法：把结构的分布质量集聚于一系列离散的质点或块，而把结构本身看作是仅具有弹性性能的无质量系统。由于仅是这些质点或块才产生惯性力，故离散系统的运动方程只以这些质点的位移或块的位移和转动作为自由度。对于大部分质量集中在若干离散点上的结构，这种方法特别有效。②瑞利－里兹法(即广义位移法)：假定结构在振动时的位形(偏离平衡位置的位移形态)可用一系列事先规定的容许位移函数f(它们必须满足支承处的约束条件以及结构内部位移的连续性条件)之和来表示，例如，对于一维结构，它的位形u(x)可以近似地表为：

(1)

式中的q称为广义坐标，它表示相应位移函数的幅值。这样，离散系统的运动方程就以广义坐标作为自由度。对于质量分布比较均匀，形状规则且边界条件易于处理的结构，这种方法很有效。③有限元法：可以看作是分区的瑞利－里兹法，其要点是先把结构划分成适当数量的区域(称为单元)，然后对每一单元施行瑞利－里兹法。通常取单元边界上(有时也包括单元内部)若干个几何特征点(例如三角形的顶点、边中点等)处的广义位移q作为广义坐标，并对每个广义坐标取相应的插值函数作为单元内部的位移函数(或称形状函数)。在这样的数学模型中，要求形状函数的组合在相邻单元的公共边界上满足位移连续条件。一般地说，有限元法是最灵活有效的离散化方法，它提供了既方便又可靠的理想化模型，并特别适合于用电子计算机进行分析，是目前最为流行的方法，已有不少专用的或通用的程序可供结构动力学分析之用。

载荷确定  载荷有三个因素，即大小、方向和作用点。如果这些因素随时间缓慢变化，则在求解结构的响应时，可把载荷作为静载荷处理以简化计算。载荷的变化或结构的振动是否 “缓慢”，只是一个相对的概念。如果载荷的变化周期在结构自由振动周期的五、六倍以上，把它当作静载荷将不会带来多少误差。若载荷的变化周期接近于结构的自由振动周期，即使载荷很小，结构也会因共振(见线性振动)而产生很大的响应，因而必须用结构动力学的方法加以分析。

动载荷按其随时间的变化规律可以分为：①周期性载荷，其特点是在多次循环中载荷相继呈现相同的时间历程，如旋转机械装置因质量不平衡而引起的离心力。周期性载荷可借助傅里叶分析分解成一系列简谐分量之和。②冲击载荷，其特点是载荷的大小在极短的时间内有较大的变化。冲击波或爆炸是冲击载荷的典型来源。③随机载荷，其时间历程不能用确定的时间函数而只能用统计信息描述。由大气湍流引起的作用在飞行器上的气动载荷和由地震波引起的作用在结构物上的载荷均属此类。对于随机载荷，需要根据大量的统计资料制定出相应的载荷时间历程(载荷谱)。对于前两种载荷，可以从运动方程解出位移的时间历程并进一步求出应力的时间历程。对于随机载荷，只能求出位移响应的统计信息而不能得到确定的时间历程，因而须作专门分析才能求出应力响应的统计信息。

在结构动力学分析中，动载荷的确定是一项重要而困难的工作。近年来发展的“载荷识别”是一项新技术，它根据结构在实际工作情况下测得的响应资料反推结构所受到的载荷资料。

运动方程  可用三种等价但形式不同的方法建立，即：①利用达朗伯原理引进惯性力，根据作用在体系或其微元体上全部力的平衡条件直接写出运动方程；②利用广义坐标写出系统的动能、势能、阻尼耗散函数及广义力表达式，根据哈密顿原理或其等价形式的拉格朗日方程导出以广义坐标表示的运动方程；③根据作用在体系上全部力在虚位移上所作虚功总和为零的条件，即根据虚功原理导出以广义坐标表示的运动方程。对于复杂系统，应用最广的是第二种方法。

通常，结构的运动方程是一个二阶常微分方程组，写成矩阵形式为：

Μ(t)+D(t)+Kq(t)=Q(t)，(2)

式中q (t)为广义坐标矢量，是时间t的函数，其上的点表示对时间的导数；Μ、D、K分别为对应于q (t)的结构质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵；Q (t)是广义力矢量。

方程解法  运动方程 (2)可用振型叠加法或逐步积分法求解。

① 振型叠加法 先求出结构作自由振动时的固有频率和振型，然后利用求得的振型作为广义位移函数再对运动方程作一次坐标变换，进而求出方程的解。

一个n个自由度的结构具有n个固有频率ω 和n个振型(j＝1，2，…，n)。规定了n 个广义坐标q(i＝1，2，…，n)在第j个振型中的相对大小。振型满足下列关系式：

(3)

式中上标“T”为矩阵转置符号；Μ为第j 个振型的广义质量。ij 时的关系式称为振型的正交条件。正交条件在物理上意味着不同的振型之间不存在能量交换，即结构在作自由振动时各个振型都是独立进行的。振型叠加法可以有条件地用于有阻尼的情况。若结构的阻尼矩阵可表为：

D＝αK＋βΜ，(4)

式中α和β是常数，则称之为比例阻尼矩阵。对应的振型满足

(5)

式中ξ称为第j 个振型的阻尼系数。同时，有阻尼的自振频率将改变为。条件(4)还可放宽为DΜK＝KΜD，式中Μ为Μ的逆矩阵。

通过振型及相应的广义坐标Y(t)，可将方程(2)中的广义坐标矢量q(t)表示为：

(6)

代入方程(2)，并左乘以，利用正交条件(3)和(5)，可将方程(2)转化为：

(7)

式中P(t)=·Q(t)是对应于第j个振型的广义力。方程(7)可以通过时域分析法或频域分析法求解。时域分析法是利用卷积积分给出方程(7)的解，可用于任意变化的载荷情况。频域分析法是利用傅里叶分析把周期性载荷展开为一系列简谐分量之和，然后计算结构对每一简谐分量的响应，最后叠加各简谐响应项而获得结构的总响应。这种方法适用于周期性载荷情况。对于非周期性载荷，也可以利用傅里叶变换技术。1965年出现了快速傅里叶变换一种用计算机计算离散傅里叶变换的方法，它在效率和功能方面的优点，使得频域分析方法能和传统的时域分析方法相媲美，并正在引起结构动力学领域的变革。

由于运动方程(7)可以逐个独立地求解，使得振型叠加法具有很大的优越性，因而它已成为结构动力学中一个应用最广泛的分析方法。对于大多数类型的动载荷，各个振型的响应是不同的，一般是频率最低的振型响应最大，高频振型的响应则趋向减小，因而在叠加过程中只需要计及频率较低的若干项，若得到的响应已达到精度要求，就可舍弃频率较高的各项，从而可以大大减少计算工作量。振型叠加法只适用于线性振动问题。

② 逐步积分法 可用于直接求解耦合的运动方程(2)，而且对阻尼矩阵的性质不需要附加任何限制，也适用于使振型叠加法失效的非线性结构系统的动力分析，因此是一种普遍适用的方法。该法是把时间划分为一系列很短的时段，按照初始条件确定初始时刻的广义位移q和广义速度，通过运动方程(2)解出广义加速度，然后可设在这一时段内为常量，通过积分求出在这一时段结束时刻的q和值，并以它们作为下一时段的初始值，如此一步一步求解下去，就能得到最终的结果。如果结构是非线性系统，同样可假设结构参量(如刚度)在每一时段内是常量并取为该时段开始时刻的瞬时参量值。逐步积分法是一种近似的方法，为了减小积累误差，必须把时段取得非常短，因而其计算工作量很大。为了提高效率，可以假设加速度在每一时段内为线性函数(或其他简单函数)。这样，即使取时段(即积分步长)为运动周期的十分之一甚至五分之一也可以得到合理的结果。

发展动向  二百多年来，结构动力学已经发展成为一门比较成熟的学科。但是，结构动力学仍在探索新的问题，如：

复模态理论  传统的结构动力学主要以不考虑阻尼或只考虑比例阻尼系统的振型的纯模态理论为基础，近年来在考虑任意阻尼的复模态理论研究方面已取得一定的进展。深入开展复模态理论的研究将进一步推动结构力学的理论分析方法和实验技术的发展。

主动振动控制  研究结构动力学的最终目的是要控制振动，防止因振动而造成的损害，而利用其有利的特性。传统的作法是根据结构动力响应的分析结果，在必要时对结构采取相应的修改措施，这是一种被动的振动控制方式。航空界在20世纪60年代开始发展主动控制技术，即根据振动传感器所获得的结构振动信息，通过控制系统加以分析并操纵若干小型操纵面，以达到降低飞机对大气湍流的响应水平或推迟颤振发生的目的，这是一种主动的振动控制方式。振动控制由被动发展到主动，是结构动力学中一个值得注意的动向。

优化设计  结构动力学中的传统作法是分析已有结构的动力特征，其逆问题设计一个结构使其具有预定的动力特性越来越引起了人们的重视(见结构优化设计)。

跨学科和其他问题  吸收其他学科的新技术，改善现有的方法和技术以提高它们的效率和精度，并开展跨学科的研究工作。

参考书目 S.铁摩辛柯等著，胡人礼译：《工程中的振动问题》，科学出版社，北京，1981。(S.Timoshenko，D.H.Young and W.Weaver，Jr.，Vibration Problems in Engineering，4th ed.，John Wiley& Sons，New York，1974.) R.L. Bisplinghoff，H.Ashley and R. L.Halfman，Aeroelasticity，AddisonWesley，Reading，Massachu-ssetts，1957. R.W.克拉夫、J.彭津著，王光远等译：《结构动力学》，科学出版社，北京，1981。(R.W.Clough and J.Penzien， Dynamics of Structures，McGraw-Hill，New York，1975.)