连续介质波动理论

研究波在连续介质中传播的一般理论和计算方法。按照理性力学的观点，波可定义为任意一个张量场＝(x，t)随时间t在空间的传播，其中x是质点的空间位置。它具有双重涵义：一是指需要研究奇异面σ(t)在空间的传播与的间断量(又称跳变量)之间的相互关系，以便弄清波动的局部性质；二是指需要研究在σ(t)两侧σ 的空间分布随时间的变化，以便弄清波动的总体性质。60年代以前，几乎没人研究过有限变形条件下非线性介质中的波动理论。理性力学的发展，使人们对物质的本构关系有了比较深入和系统的认识，而运用在此同时发展起来的一种严格的分析方法也有利于研究在各种介质中，尤其是在热弹性介质和减退记忆介质中波的形成、发展、相互转化和相互作用的规律，从而把古典弹性力学和流体力学研究波动问题的方法向前推进一步。于是波动理论就成为理性力学的一个重要分支。这个方法的理论基础就是奇异面理论，即利用奇异面上的相容性条件、波阵面两侧的守恒方程和具体物质的本构关系进行严格数学运算，从而得出波的传播特性。

奇异面σ(t)和张量值函数及其各阶导数的间断之间的相容性关系包括几何学相容性条件、运动学相容性条件和动力学相容性条件，即：

①几何相容性条件 系指对空间坐标导数的间断【д/дx】、沿σ(t)法向导数的间断和σ(t)几何性质相互连系的普遍关系式，这里不涉及曲面的运动特性。【 】表示括号内的量在σ(t) 的“＋”侧和“－”侧两值之差。J.阿达玛于1903年给出一个著名的引理，即“对奇异面σ(t)，若д/дx存在间断，即【д/дx】0，但本身连续，则间断矢量【д/дx】必和σ(t)的法矢量n平行”。这一引理常被称为阿达玛引理。后来，随着理性力学的发展，T.Y.托马斯、C.特鲁斯德尔等人给出了更加一般的几何相容性条件，其中并不要求沿σ(t)保持连续。在得到一阶导数间断的相容性条件的基础上，通过迭代法可求得关于的高阶导数间断的相容性条件。在研究固体在有限变形下的波动问题时，常常采用物质坐标，因此需要给出在该坐标系下的相容性条件。

②运动学相容性条件 表示间断【】沿σ(t)的变化率、σ(t)在空间的法向运动速度u和间断【д/дt】之间的相互关系。若引用δ 时间导数的概念，则运动学相容性条件可表示为：

δ【】/δt=【д/дt】+u【nд/дx】

③动力学相容性条件 表示跨越σ(t)时，物体的运动必须遵循质量守恒定律、动量和动量矩平衡定律、能量守恒定律以及熵不等式。

由于这些相容性条件并不涉及物质本构方程的具体形式，因而它们对所有物质都是普遍适用的。正因为如此，奇异面上的相容性条件才成为研究各种介质中波动特性的有力工具。

奇异面σ(t)按其对φ的间断性质可分成两大类：一类是强间断，即【】0;另一类是弱间断，即沿σ(t)连续，但它的空间或时间导数存在间断。激波是关于运动(把视为变形介质的运动)的一阶奇异面;而加速度波则是关于运动的二阶奇异面。

目前，对非线性介质中激波问题的研究采用两种分析方法：一是解析方法，包括简单波理论、特征理论、半逆法和无穷级数法，用这些方法可以获得少数问题的精确解；二是构成各类物质关于激波幅度随波传播时的增、衰方程，讨论激波传播的局部性质。用这种方法证明在高分子聚合物、有机玻璃一类粘弹性物质中有两种因素控制着波的传播：非线性弹性性质使波幅增加，而粘性则使波幅衰减，在某种组合条件下，能形成稳定的激波。这一点已为平板撞击试验所证实。关于加速度波问题的研究在非线性介质波动理论中占有重要地位。这是因为非线性介质中的加速度波具有根本不同于线性介质中的若干特性。加速度波的幅值矢量a和波的局部传播速度U满足下列关系式：

，

式中ρ为参考状态中介质的密度；δ为克罗内克符号；Q为一个二阶对称张量，称为声张量。上式称为传播条件。它表明，加速度波的幅值矢量a是声张量Q的特征矢量，而ρU是相应的特征值。另外，不论介质的本构方程采取何种形式，其幅值大小а=(а+а+а)满足伯努利型方程：

δа/δt＝-μ(t)а+β(t)а，

式中，系数μ(t)由材料的性质、波阵面上的状态和形状决定，而系数β(t)只和介质的瞬态弹性反应有关。当波阵面处于均匀变形状态时，系数μ和β为常数。加速度波的这个性质十分重要，它预示在介质中存在一个临界的加速度波的初始幅值а。当а＞а时，波幅随波的传播而增加，因而经过有限时间，加速度波可以发展成激波；当а＜а时，波幅是衰减的；当а=а时，加速度波在传播过程中保持稳定。这一点和线性介质显然不同，并已为实验所证实。

近二十年来，不少学者利用理性力学的奇异面理论开展了各种不同介质中激波和加速度波传播性质的系统研究，其中包括弹性固体、热弹性固体、非线性粘弹性体、刚塑性体、电磁介质、化学反应介质、微极弹性介质、复合材料等方面，都获得了很大的进展。但这种方法只能定性地讨论无限域中非线性波动传播的局部性质，除少数简单情况可以得到解析解外，要了解波动的总体性质仍需借助数值计算。

参考书目 C.Truesdell and R.Toupin，The Classical Field Theories，Handbuch der Physik，Bd.Ⅲ/1，Springer-Verlag，Berlin，Gttingen，Heidelberg，1960. C.Truesdell and W.Noll，The Non-linear FieldTheoriesof Mechanics， Handbuch der Physik，Bd. Ⅲ/3，Springer-Verlag，Berlin，Heidelberg，New York，1965. A.C.Eringen and E.S.Suhubi， Elastodynamics，Vol.1，Academic Press，New York，1974.