流函数

流体力学中同连续性方程相联系的一个标量函数，它在流体平面运动和轴对称运动中有重要应用。不可压缩流体和定常可压缩流体的连续性方程可写成：

·(ρ)=0，(1)

式中为速度矢量;ρ为流体密度；ν＝0和ν＝1分别对应于不可压缩流体和定常可压缩流体情形。由方程(1)容易看到存在着矢势B，使下式成立：

ρ=×B，(2)

式中B称为广义流函数。在平面运动和轴对称运动这两种特殊情形下，B只有一个非零分量，如果引进流函数将带来以一个函数代替两个速度分量函数的好处。在平面运动情形下，连续性方程在直角坐标系中可以写成如下的形式：

，

式中u、v为速度矢量在x、y轴方向上的分量。由此推出存在流函数Ψ，使得：

。

显然，此时有B＝(0，0，Ψ)，Ψ称为平面运动的流函数。在轴对称运动中，取柱坐标系(r，，z)和球坐标系(r，，θ)，连续性方程可分别写为：

(3)

式中v、v和v、v分别为速度矢量在柱坐标系r、z轴上和球坐标系r、θ轴上的分量。由式(3)推出存在着流函数Ψ，使得：

；(柱坐标)

。(球坐标)

容易验证，此时矢势具有下列形式：

Ψ称为轴对称运动的流函数，也称为斯托克斯流函数。

对于不可压缩流体，流函数具有下列四个性质：①Ψ可加上任一常数而不影响对流体的运动的描述。②Ψ为常数的曲面是流面。③在Oxy平面上或θ＝π/2的平面上取一曲线弧AB，则通过以AB为底、高为单位的曲面(平面情形)或通过以AB为母线的旋转曲面(轴对称情形)的流量Q与流函数在A、B两点上的值Ψ和Ψ之间存在如下关系：

式中ν＝0和ν＝1分别对应于平面和轴对称情形。④在单联通区域内若不存在源、汇(见源流、汇流)，则流函数Ψ是单值函数。若单联通区域内有源、汇或在多联通区域内，则Ψ一般是多值函数。

如果不可压缩流体的运动是无旋的，则×＝0。在直角坐标系中无旋条件给出，由此推出，流函数Ψ满足拉普拉斯方程ΔΨ＝0，因而是调和函数。在柱坐标系和球坐标系中，无旋条件要求：

，(柱坐标)

，(球坐标)

于是Ψ满足下列方程：

DΨ＝0，

式中D为广义斯托克斯算符，它在柱坐标系和球坐标系中的表达式分别为：

，(柱坐标)

。(球坐标)