蒙特卡罗方法

通过以随机取样为基础的统计估值来解决自然科学、工程技术和控制管理中一些带概率性质或决定论性质问题的一种实验数学方法，又称统计试验法和概率模拟法。蒙特卡罗是摩纳哥公国一座赌城，用它来命名能生动地反映这种方法是用随机取样作统计估值的本质。英国开尔文于20世纪初曾记录他的助手对一组标了数的卡片抽样选取的随机数，来计算分子与壁面的碰撞。这是用统计试验法对气体行为所作的最早模拟。统计试验法作为研究手段被引入自然科学是从第二次世界大战中研究原子弹开始的。电子计算机出现后，此法获得有实际意义的应用。蒙特卡罗方法特别适用于处理那些本身具有或然性并用随机过程术语表达的问题，如中子散射、核反应堆计算、稀薄气体动力学问题、物种生态竞争、传染病传播、生产管理排队问题、战争和博弈等。这种处理叫做直接模拟统计试验法，其要点是把客观存在的大数量的随机过程，在电子计算机上以较小规模实现，通过大量的统计取样，求得感兴趣的量的数学期望值。概率误差分析表明，要使解的精度提高十倍，试验次数就要增加一百倍，或使计算机工作量增加一百倍。

在力学中，蒙特卡罗方法多被用来求解稀薄气体动力学问题，其中最为成功的是澳大利亚G.A.伯德等人发展的直接模拟统计试验法。此法通过在计算机上追踪几千个或更多的模拟分子的运动、碰撞及其与壁面的相互作用，以模拟真实气体的流动。它的基本假设与玻耳兹曼方程一致，但它是通过追踪有限个分子的空间位置和速度来代替计算真实气体中分布函数。模拟的相似条件是流动的克努曾数(Kn)相等，即数密度与碰撞截面之积保持常数。对每个分子分配以记录其位置和速度的单元。在模拟过程中分别考虑分子的运动和碰撞，在此平均碰撞时间间隔内，分别计算分子无碰撞的运动和典型碰撞。若空间网格取得足够小，其中任意两个分子都可以互相碰撞。具体决定哪两个刚体分子相撞，是随机取一对分子，计算它们的相对速度，根据此值与最大相对速度的比值和随机取样比较的结果，来决定该对分子是否入选。碰撞后分子的速度根据特定分子模型的碰撞力学和随机取样决定。分子与壁面碰撞后的速度，则根据特定的反射模型和随机取样决定。对于运动分子的位置和速度的追踪和求矩可以得出气体的密度、温度、速度等一些感兴趣的宏观参量。而对于分子与壁面间的动量和能量交换的记录则给出阻力、举力和热交换系数等的数学期望值。