莫尔圆

表示复杂应力状态(或应变状态)下物体中一点各截面上应力(或应变)分量之间关系的平面图形。1866年德国的K.库尔曼首先证明，物体中一点的二向应力状态可用平面上的一个圆表示，这就是应力圆。1882年德国工程师O.莫尔对应力圆作了进一步的研究，提出借助应力圆确定一点的应力状态的几何方法，后人就称应力圆为莫尔应力圆，简称莫尔圆。

对于二向应力状态，若已知如图1之a 所示的单元体(实际代表物体中一个点)在两相互垂直的截面上的应力σ、τ和σ、τ(其中σ和σ为正应力，以拉伸为正；τ和τ为剪应力，顺时针为正且τ＝-τ)，则在以正应力σ为横坐标、剪应力τ为纵坐标的坐标系中，可按下述步骤画出莫尔圆：根据已知应力分量在坐标系中画出A(σ，τ)和B(σ，τ)两点，以AB连线与σ轴的交点C为圆心，以CA(或CB)为半径画圆，即得莫尔圆(图1之b)。

图1

二向应力状态的莫尔圆有如下性质：①莫尔圆上每一点的坐标都对应于单元体上某一截面上的正应力和剪应力；②若莫尔圆上的两个点组成的圆心角为2α)，则单元体上相应的两个截面的外法向的夹角为α，且角度的转向相同。根据上述性质，以单元体上某个面为基面，以莫尔圆上与该面对应的点为基点，就能求出单元体中各截面上的应力，或找出最大剪应力面和主平面(即剪应力为零的平面)的方向。例如，以图1中单元体上dc面为基面，以莫尔圆上与dc面对应的A点为基点找主平面方向的具体方法如下：在莫尔圆上量出圆心角∠ACD=2和∠ACE=2θ(图2之a)，并将单元体上dc面沿顺时针方向转角，沿逆时针方向转θ角就得到两个主平面，其上的正应力(即主应力)的大小分别为莫尔圆上D、E两点的横坐标σ、σ。图2之 b表示出主平面的方向和主平面上的应力。

三向应力状态的莫尔圆是在已知物体上一点的三个主应力σ、σ、σ的前提下得到的。如图3所示，若σ>σ>σ，则三向应力状态的莫尔圆具有如下性质：物体内所考虑点的任意方向截面上的正应力和剪应力在σ-τ坐标系中对应的点，都落在图中的阴影部分。即莫尔圆给出了一点的应力范围。若已知截面的法向与三个主应力方向的夹角或方向余弦，也可通过几何方法确定出该截面上正应力和剪应力的值。但在一般工程应用中，知道应力范围就足够了。

对于应变，也有相同形式的莫尔圆。