纳维－斯托克斯方程数值解

纳维－斯托克斯方程 (简称N-S方程)是非线性的偏微分方程组，再加上在实际流动中，雷诺数的变化范围很大，物面附近流场的变化又很剧烈，因此长期以来，除个别问题外，不能直接求解。为了解决实际问题，人们着眼于发展一些近似计算方法，奇异摄动理论在这里得到出色的应用。例如，对于小雷诺数绕流，以雷诺数为小参数，将物理量和方程展开，建立了极慢运动的理论，可求得圆球等很多绕流问题的解答。对于高雷诺数的绕流，以雷诺数平方根的倒数为小参数，可建立边界层理论，并在此基础上求其问题的解答(见边界层方程数值解法。只是在电子计算机问世以后，N-S方程的求解，才迅速发展起来。

在N-S方程数值求解中，常用的方法有以下几种：

①定常流动的时间相关法 这种方法是在定常运动的微分方程组中，引入时间项，然后沿时间方向推进，取时间相当大的渐近解为定常解。这里主要关心的是定常解，所以附加的时间项可以是有物理意义的，也可以是虚设的。为便于计算，常采用时间分裂法，即把多维非定常方程分裂为几个一维非定常方程。具体计算时，多采用有限差分方法(显式、隐式或显-隐混合式)。最近，间导数采用有限元法来离散化，这是个很有发展前途的方向。

这种方法原则上也适用于非定常流。但是，为了能准确地刻画流动随时间的变化规律，在进行计算时，时间方向的计算格式，也应是高阶精度的。

②直接求解法 这种方法是应用有限差分方法或有限元法对定常方程直接进行离散化，然后利用松弛法或交替方向的算法进行数值计算。要进行N-S方程计算时，如果流场内出现激波，应作特殊处理。目前除采用激波装配法外，广泛采用激波捕捉法(见激波数值处理)，此时应处理好人工粘性或格式粘性与真实粘性之间的关系。在激波出现的区域，为了捕捉激波，避免计算结果在激波附近可能出现的波动，人工粘性或格式粘性应大于真实粘性。但在粘性起作用的区域，为了准确地描述真实流动，必须要求人工粘性或格式粘性小于真实粘性。

N-S方程的数值计算已经取得较大的进展。长期不能很好解决的二维、三维分离流动、激波与边界层相互干扰等问题，都得到了一些很好的计算结果，这些结果和实验结果相当一致。但是，N-S方程相当复杂，在进行有实际意义的工程问题计算时，要求有较大的机器存贮量和较长的计算机时，因此，这要求发展每秒数十亿次运算速度的高速大容量的电子计算机。为了解决机器不能满足要求的矛盾，很多人提出对N-S方程进行简化。研究表明，当雷诺数大于10时，对于大多数粘性绕流，相对于物面其流向的粘性项不很重要，因而可把它从N-S方程中略去，使方程简化，这种简化的N-S方程已被成功地应用到各种附体流及分离不很严重的流动，成为数值求解N-S方程的一个重要手段。