偶极子流

等强度源流和汇流的一种组合，其中点源和点汇无限接近并保持强度和距离的乘积等于一常数值。设O点和O点上分别有强度均为Q的点汇和点源(图1)，

它们对空间中任一点P所感生的速度势ф为：

，

式中r和r分别为O和O到P的距离。令O趋于O，并要求Q·OO→m，得偶极子速度势的表达式：

式中为函数在L方向上的方向导数；θ为L和OP的夹角；m为偶极矩矢量，其大小为m，方向由汇到源，可见偶极子有方向性。从汇向源引出的直线是偶极子的轴线。取球坐标系，使方程中的θ和球坐标系中的坐标θ重合。根据轴对称性，存在着流函数Ψ，使

式中v、v为r、θ方向的速度分量，积分之，得：

，

这里约定θ＝0时Ψ＝0。在柱坐标系中，偶极子的ф和Ψ的表达式为：

。

对平面偶极子进行完全类似的定义和讨论，可得ф和Ψ的表达式：

它的复变解析函数(即复位势)的表达式为：

式中，β为OL与x轴的夹角(图1)。偶极子流的流线族和等势线族如图2、图3所示，它们显然是正交的。在二维偶极子流中，流线是圆心在y轴上的圆，而等势线则为圆心在x轴上的圆(图2)。在三维偶极子流中，等势线和流线组成的正交曲线网和二维情形相似，但它们的形状已经不是圆了(图3)。

图2

图3

偶极子流是一种重要的基本流子，它和其他基本流子叠加在一起，可以得到一些很典型的流动。例如均匀流同一个方向与均匀流相反的平面偶极子叠加，得到均匀来流绕圆柱的流动；均匀流同一个方向与均匀流相反的三维偶极子叠加，则得均匀来流绕圆球的流动(图)，其速度势ф的方程为：

，

式中V为均匀来流的速度；α为圆球半径；r、θ为球极坐标。和三维点源一样，三维偶极子也可以连续地分布在曲线、曲面或体积内，使单位长度、单位面积或单位体积上的强度保持有限，从而为解决绕流问题提供另一类奇点组合。例如，沿圆周均匀分布偶极子强度，使偶极子轴线与圆周所在的平面垂直，再在偶极子的负轴方向叠加一均匀流动，就可得到绕圆环形物体的流动。