湍流理论

研究湍流的起因和特性的理论，包括两类基本问题：①湍流的起因，即平滑的层流如何过渡到湍流；②充分发展的湍流的特性。

湍流的起因  层流过渡为湍流的主要原因是不稳定性。在多数情况下，剪切流中的扰动会逐渐增长，使流动失去稳定性而形成湍流斑，扰动继续增强，最后导致湍流。这一类湍流称为剪切湍流。两平板间的流体受下板面加热或由上板面冷却达到一定程度，也会形成流态失稳，猝发许多小尺度的对流；上下板间的温差继续加大，就会形成充分发展的湍流。这一类湍流称热湍流或对流湍流。边界层、射流以及管道中的湍流属于前一类；夏天地球大气受下垫面加热后产生的流动属于后一类。

为了弄清湍流过渡的机制，科学家们开展了关于流动稳定性理论(见流体运动稳定性)、分岔(bifurcation)理论和混沌(chaos)理论的研究，还进行了大量实验研究(见湍流实验)。

对于从下加热流层而向湍流过渡的问题，原来倾向于下述观点：随着流层温差的逐渐增加，在发生第一不稳定后，出现分岔流态；继而发生第二不稳定，流态进一步分岔；然后第三、第四以及许多更高程度的不稳定接连发生；这种复杂的流动称为湍流。实验结果支持这一论点。但是，这一运动过程在理论上得不出带有连续谱的无序运动，而与实验中观察到的连续谱相违。最近，对不稳定系统的理论分析提出了另一种观点：在发生第一、第二不稳定之后，第三不稳定就直接导致一个可解释为湍流的无序运动。这一观点也得到实验的支持。

剪切流中湍流的发生情况更为复杂。实验发现，平滑剪切流向湍流过渡常会伴有突然发生的、作奇特波状运动的湍流斑或称过渡斑。可以设想，许多逐渐形成的过渡斑，由于一再出现的新的突然扰动而互相作用和衰减，使混乱得以维持。把过渡斑作为一种孤立的非线性波动现象来研究，有可能对湍流过渡现象取得较深刻的理解。因此，存在着不止一条通向湍流的途径。

过去认为，一个机械系统发生无序行为往往是外部干扰或外部噪声影响的结果。然而，最近观察到：在某个系统里进行确定的基本操作会导致混乱的重复发生。这类系统可认为含有一个能吸引系统维持混乱的奇怪吸引子。这种混乱现象称为短暂混沌。预期对这种短暂混沌的可普遍化特性的研究将会得到说明完全发展的无序现象(湍流)的新线索。

湍流基本方程  充分发展的湍流流动图像极其复杂，虽经一百多年的研究，成果并不显著。目前大多数学者都是从纳维－斯托克斯方程

(1)

出发进行研究；近年来，有人从统计物理学中的玻耳兹曼方程或BBGKY谱系方程出发进行研究。

对充分发展的湍流，除考虑它的瞬时量外，更要考虑各种用以描述湍流概貌的平均量。从瞬时量导出平均量的平均方法有好多种。有了平均法，就可把任一瞬时量分解成平均量和脉动量之和。例如，

u=+u′，p＝+p′，

式中u、p为速度和压力的瞬时量；、为其平均量；u′和p′为其脉动量。对式(1)取平均，就得到平均速度和平均压力所满足的雷诺方程：

(2)

式中最后一项是雷诺方程对纳维－斯托克斯方程的附加项，体现了脉动场对平均场的作用，而则称为雷诺应力或湍流应力。式中最后一项中的量实质上是新未知量，所以式(2)和连续性方程

(3)

所组成的方程组关于和是不封闭的，因而无法求解。学者们一直努力寻求封闭方程组的办法；早年的普朗特混合长理论是一种尝试，后来发展的模式理论也是一种尝试。

湍流的半经验理论和模式理论  J.V.布森涅斯克早在1877年作出假设：二元湍流的雷诺应力正比于平均速度梯度，即

式中ε为涡粘性系数。这一假设是仿照牛顿粘性定律作出的。实际上，ε不是单由物性决定的常数，而是和流动有关的变量，尤其在近壁区，它的变化很大。后来，L.普朗特仿照气体分子运动论，提出了混合长理论，即令

(4)

式中取x、y坐标；u′、v′为相应脉动速度分量；l称为混合长。显然，ε=。根据平板边界层的测量，l和离壁之距y的关系可近似地表示为：

式中y=0.15δ～0.20δ;κ=0.40；σ＝0.075～0.09；δ为边界层厚度。对于二元混合层和射流，l近似地和射流的宽度成比例。在二元情况下可用式(4)封闭式(2)、(3)。

对于直圆管湍流，由混合长理论可以得出用对数函数近似表示的水桶型的速度分布。经过实验修正后，这个对数分布律为：

式中称动力速度；τ为壁面摩擦力。

除了混合长理论外。G.I.泰勒提出过一种模拟涡量输运的理论;T.von卡门也提出一种假定局部脉动场相似的理论。现在有人称这些半经验理论为平均场封闭模式或“0”方程模式。这种模式比较简单，且计算结果也比较符合某些工程实际。

上述半经验理论是近似的，适用范围有限。后来，经过改进和推广，出现了“1”方程模式，其中除了平均运动方程外，还补充一个湍能方程或一个关于混合长的微分方程；还有所谓“2”方程模式和应力输运模式，以及更高阶的封闭模式。

封闭是指一种解一连串方程的方法，这一连串方程把流动的一些平均量和另一些平均量联系起来。封闭需要有一种允许把这一连串方程截止在一个可以处理的数目上的假设。如果这假设是一个良好的近似，则所取的封闭模式就有适当的应用范围。近年来，二阶封闭较受重视，而应用得较多的则是一种称为K-ε模式的“2”方程模式。它用湍能K和湍能耗散率ε两个量来描写湍流的脉动场，用下式表示雷诺应力：

(5)

式中μ＝CρK/ε，C为比例常数。再对K和ε分别补充一个方程，就可组成同时计算平均速度场和湍流场的封闭方程组。K-ε模式已用于计算一些平面平行湍流，但计算稍为复杂的湍流时，效果不好。

应力输运模式用六个关于雷诺应力分量的输运方程增补方程(2)、(3)，并引进一些附加假定。周培源早在1945年发表了他对应力输运模式较系统的研究工作，当时没有电子计算机，只能作一般性讨论。从60年代起开始应用计算机研究这一模式。在应力输运模式中，湍流的脉动场用七个量(六个雷诺应力分量和一个耗散率)描写，比只用K和ε两个量似乎合理些，但同样存在封闭的困难。因耦合的方程数目增多，对边界条件和初始条件的要求也增多，从而给计算带来许多困难。

上述两种二阶封闭都立足于雷诺平均法则，湍流场被分解为平均场和脉动场。脉动场由和ε来代表中既有大涡的作用，也有小涡的作用，也就是把脉动场中的大涡和小涡同等看待，这可能是造成封闭方程组过分复杂的原因。此外，雷诺平均法则不能反映一些拟序性的大涡结构。为此，又开始探索新的平均方法和封闭模式。“滤波”平均(即将小涡滤去)和大涡模拟就是这一方面的尝试。

还有和封闭理论相反的、被称为开式理论的方法。它不是用假设来截断一连串的方程，而是在许多可能的解中寻求给出某些重特要征的上界的解。

上述模式理论和半经验理论都是对非均匀湍流作定量的预估，寻求用一个简单的统计模式来代替复杂的实际过程，以预测各种工程的或其他实用场合中的湍流特性。

湍流的统计理论  研究湍流一般要用统计平均概念。统计的结果是湍流细微结构的平均，描述流体运动的某些概貌，而这些概貌对实际湍流细节应该是适当敏感的，因此可以认为，几乎所有湍流理论(包括上两节所述的理论)都是统计理论，但一般著作中所讲的统计理论实际上是指引进多点相关后的统计理论。

泰勒在20年代初研究湍流扩散时，引进了流场同一点在不同时刻的脉动速度的相关，从而开创了湍流统计理论的研究。这一相关称拉格朗日相关，可描述流动的扩散能力。用扩散系数ε来表示这种能力，则

式中称为相关系数。知道了拉格朗日相关，就可以算出湍流扩散系数。1935年泰勒又引进同一时刻不同点上速度分量的相关，用以描述湍流脉动场，此即所谓欧拉相关。相应的相关系数

泰勒利用这一类相关研究了一种理想湍流均匀各向同性湍流。这种量简单的理想化湍流的定义是：平均速度和所有平均量都对空间坐标的平移保持不变，而且各相关函数沿任何方向都是相同的。要在实验室中即使近似地模拟这种湍流也是很困难的。但在这种湍流中，不会有平均流动对脉动的交互作用，也不会有因不均匀性造成的湍能扩散效应和因各向异性造成的湍能重分配效应，因而可以利用这种湍流研究湍能衰减规律和湍流场中各级旋涡间的能量分配和交换规律。由于没有湍能产生和扩散，这种湍流一旦产生就逐渐衰减。泰勒导得湍能的衰减为：

(6)

式中λ为湍流的泰勒微尺度；u为脉动速度。

这种湍流的所有二阶速度相关可以由一个纵向相关函数表示，式中l表示P点和P′点间连线的方向；r为两点间的距离；u(0)、u(r)分别为P点和P点上的脉动速度在l方向的分量;(0)为l方向脉动速度的自相关，称纵向自相关，它的1.5倍就是湍能。卡门和L.豪沃思导出关于f(r)的动力学方程：

(7)

式(7)称为卡门-豪沃思方程，它描述相关随时间的变化。解出f就可求出流场的衰减规律。把此方程按r的幂次展开，其第一项就是式(6)，以后各项和κ有关。κ为三阶相关系数，它也是未知量，因而方程不封闭。早期的均匀各向同性相关理论就是研究这一方程的各种封闭方法和解的形式。

对进行傅里叶变换，得三维能谱函数：

，

式中k为波数。记E(k，t)=2πkE(k，t)，它也是个三维能谱函数。同卡门－豪沃思方程相对应的能谱方程为：

，(8)

式中F和三阶速度相关函数有关。因而能谱方程也不封闭，它包含有两个未知量E和F。

将能谱函数E对k积分就得湍能：

因此，E(k，t)dk就是那些波数处于k和dk之间的湍动涡的能量。如图所示，在能谱曲线(E对k的曲线)中，小波数对应于大湍动涡，大波数对应于小湍动涡。对于中间尺度的涡，A.H.柯尔莫戈罗夫给出它的能谱是按k的-5/3次幂变化的，即在图中的惯性子区，能谱曲线可表示为E＝Aεk，式中ε为湍能耗散率。这一形式称为柯尔莫戈罗夫谱定律。大量观察到的数据支持这一定性结果。

对各级湍涡的关系有一种级串观点。湍流一旦形成，总的变化趋势是大涡逐渐向中涡演变，中涡又向小涡演变。反映在能谱曲线的演变上，小k处的E值因大涡减弱而逐渐减小；中k处的E值一方面接受从较小k值区传来的能量，一方面又向较大k值区输送能量，最后因流体粘性的作用，能量在一些微小尺度的涡上转化为热而耗散掉。均匀各向同性湍流的谱理论就是从研究谱方程(8) 的封闭方法来导出能谱曲线的具体形式及其衰减规律的。

1941年，柯尔莫戈罗夫提出局部各向同性概念。他认为实际流动总有边界的影响，因此受边界影响较大的大尺度涡旋的运动不可能是各向同性的，而受边界影响较少的小尺度涡旋则可能是各向同性的。为了消除大涡旋的影响，他研究了相对速度w=v-v和由此导出的结构函数，并认为由脉动场w确定的平均性质具有各向同性，因此称这种湍流为局部均匀各向同性湍流。周培源等从另一途径，先解纳维－斯托克斯方程，然后对所得的基元涡进行统计平均来研究均匀各向同性湍流，得出了相关量的衰减规律。此外，也有人开展了均匀剪切湍流的研究。R.H.克赖希南提出了直接相互作用理论；S.格罗斯曼把重正化群论方法引进湍流研究；S.楚格、M.B.刘易斯和B.B.斯特鲁明斯基等开展了湍流的气体动力论研究，但都未取得重要进展。

湍流经过一百多年的研究只得到极少量的定量预测。一、二十年来关于湍流结构的一些新发现，关于由不稳定、分岔而导致混沌的机械系统和数学系统的发现，有可能为理解湍流的发生提供新途径。科学家和工程师们开始更多地考虑湍流机理。但是，这种对机理的思考不会很快地对完全发展的湍流作出彻底的了解，而只可能为构造更精确反映湍流过程基本机理的统计假设提供条件。

建立湍流理论是一个非常艰巨的任务。近期和中期的任务是提高控制不稳定的技术和增强关于湍流统计模式的预测能力，由此推进工业新产品的设计，并且增强对天气和海流等的预报能力。

参考书目 J.O.Hinze，Turbulence，McGraw-Hill，New York，1975. D. J. Tritton， Physical Fluid Dynamics，van Nostrand Reinhold Co.，New York，1977. C.C.Lin，ed.， Turbulent Flows and Heat Transfer，Princeton Univ. Press，Princeton，1959. H. L.Swinney and J.P.Gollub，ed.，Hydrodynamic Instabilities and the Transition to Turbulence， Springer-verlag，Berlin，1981.