随机振动

指那些无法用确定性函数来描述，但又有一定统计规律的振动。例如，车辆行进中的颠簸，阵风作用下结构的响应，喷气噪声引起的舱壁颤动以及海上钻井平台发生的振动，等等。

振动可分为定则(确定性)振动和随机振动两大类。它们的本质差别在于：随机振动一般指的不是单个现象，而是大量现象的集合。这些现象似乎是杂乱的，但从总体上看仍有一定的统计规律。因此，随机振动虽然不能用确定性函数描述，却能用统计特性来描述。在定则振动问题中可以考察系统的输出和输入之间的确定关系；而在随机振动问题中就只能确定输出和输入之间的统计特性关系。

机械系统中随机振动的研究始于20世纪50年代，当时主要出于航空科学的需要。后来这一理论在土木建筑工程、交通运输工程和海洋工程等方面也得到了广泛应用。60年代以来，振动测试技术和计算技术飞速发展，为解决复杂的振动问题提供了强有力的手段。

研究方法  随机振动通常要用概率论的方法描述。概率反映随机事件出现可能性的大小。将随机事件的结果用数量描述，就得出随机变量的概念，因为它描述随机变量的发展过程，故又称随机过程，而随机振动只是随机过程的一类实例。

假设在一定条件下重复某个随机试验(如汽车道路试验)，得到系统响应(如司机座的铅垂加速度)的一系列时变历程记录(见图)。

其中每个记录x(t)，n=1，2，…，都可看作一个样本，而大量样本构成一个集合，记为X(t)，用它代表这一随机过程。

对于随机现象，人们感兴趣的往往不是各个样本本身，而是从这些样本总体得出的统计特性。例如，以随机函数X在瞬时t取值不大于x的概率，可定义一维概率分布函数：

F(x，t)=P[X(t)≤x]，

并由此导出一维概率密度函数：

。

类似地，可定义多维概率分布与密度函数。从随机函数的概率密度函数又可确定各种数字特征；例如，各次矩可以定义如下：

记号E{ }表示集合平均。可以看出，一次矩即随机函数的平均值μ；二次矩即均方值ψ；而二次中心矩

称为方差，它的平方根σ常称为标准差。平均值反映过程的总倾向；均方值往往与平均能量相联系；方差则可用来表征随机变量的分散程度。

平均特性可区分为集合平均和时间平均。前者是对集合求平均，后者是对单个样本来求的。根据统计特性是否随采样时间原点的选取而变化，随机过程可分为非平稳过程和平稳过程。根据集合平均特性是否等同于时间平均特性，随机过程又可分为遍历的和非遍历的。遍历的随机过程一定是平稳的；反之则不一定。

在各种平均特性中，最重要的是相关函数和功率谱密度。一个随机振动又可以看作大量数目的具有随机振幅与相位的谐和振动之和。它的总功率就等于各个谐和分量的功率之和。人们感兴趣的是找出这种功率如何按频率分布。平稳随机函数X的自相关函数R(τ)定义为乘积x(t)x(t+τ)的集合平均值。它是时延τ的函数，反映相隔τ的两个时刻的随机变量之间的线性相关程度，同时它还蕴藏着随机过程中各个谐和分量的频率和平均功率的信息。因此，从自相关函数的谐和变换S(f)可得到功率谱密度(简称自谱)的概念，它恰好描述随机过程的平均功率按频率的分布规律。按定义有：

，

由逆谐和变换，得：

，

当τ＝0时，

。

由此可见，S(f)正是X关于频率f的均方谱密度。

实用上，常用功率谱的形状作为随机过程的标志，例如在随机振动试验中，各种基准谱都是按谱形来规定的。人们按谱形将偏于两个极端的情况分别称为窄带过程和宽带过程。窄带过程是指它的功率谱具有尖峰特性，并只有在尖峰附近的一个窄带内才取有意义的量级。典型的例子是随机信号通过窄带滤波器后所得的结果。相反地，宽带过程的功率谱在相当宽(带宽至少与其中心频率有相同的数量级)的频带上取有意义的量级。最极端的情形是白噪声，它的谱密度是均匀的并有无限的带宽。白噪声只是一种数学抽象，因为在无限的带宽上都有有限的功率意味着有无限的总功率。不过，当随机激励的频带足够宽，以致将系统所有的固有频率覆盖无遗时，把该激励视为白噪声是可取的，这样做数学上便于处理。

自相关和自谱是从同一个随机过程得到的统计特性，类似地可以定义两个不同随机过程X和Y之间的互相关函数R(τ)与互谱S(f)。从互谱还可定义相干函数：

。

互谱和相干函数在实验确定系统频率特性以及确定振源和振动传递路径方面有独特的作用。

随机过程中的一类特别重要的过程，称为正态过程，亦称高斯过程。平稳正态过程的一维概率密度函数可表示为：

。

正态过程有以下特点：许多自然现象可以用正态过程近似地描述；正态过程的线性变换仍然是正态过程；只需知道正态过程的一次矩与二次矩，就可确定概率密度。这些特点给随机振动研究带来很大方便。首先，随机振动的许多激振源(如大气湍流、海浪、路面等)都可以看作正态过程。其次，从第二点可知，对于常系数线性系统，当输入是正态过程，输出也一定是正态过程。另外，当系统的输入和输出都是正态过程，只要确定它们的平均值和方差，就可确定它们的全部统计特性。

研究内容  主要有以下两方面：

① 激励-响应关系 前已提及，随机振动问题中的激励-响应关系只能描述为它们的统计特性之间的关系。常系数线性系统在平稳随机激励X作用下，产生平稳随机响应Y。这时，关于平均值有如下关系：

μ=H(0)μ。

关于功率谱，有如下关系：

(1)

(2)

式中H(f)是系统的频率特性。上述关系式既简单又实用，这正是功率谱法的优点所在。式(1)只用到系统的幅频特性，适用于已知系统特性，从输入(或输出)求输出(或输入)。式(2)适用于从实验确定频率的特性。功率谱虽然只提供了随机过程的频域描述，但知道功率谱后，就不难求出相关函数与均方值。如果输入是平均值为零的正态过程，则输出也一样。这时，输出的均方值也就完全确定了输出的统计特性。

② 可靠性 在系统可靠性分析中用到的随机响应统计特性还有越界概率和峰值分布。越界概率是指随机响应穿越某个界限水平次数的概率，峰值分布是指响应超越某个水平的峰数(或谷数)的概率。计算这些概率还需知道随机响应过程及其导数的联合概率分布。

参考书目 纽兰著，方同等译：《随机振动与谱分析概论》，机械工业出版社，北京，1980。(D.E.Newland，AnIntroduction to Random Vibrations & SpectralAnalysis，Longman，London，1975.)