弹性波

应力波的一种，扰动或外力作用引起的应力和应变在弹性介质中传递的形式。弹性介质中质点间存在着相互作用的弹性力。某一质点因受到扰动或外力的作用而离开平衡位置后，弹性恢复力使该质点发生振动，从而引起周围质点的位移和振动，于是振动就在弹性介质中传播，并伴随有能量的传递。在振动所到之处应力和应变就会发生变化。弹性波理论已经比较成熟，广泛应用于地震、地质勘探、采矿、材料的无损探伤、工程结构的抗震抗爆、岩土动力学等方面。

某一弹性介质内的弹性波在传播到介质边界以前，边界的存在对弹性波的传播没有影响，如同在无限介质中传播一样，这类弹性波称为体波。体波传播到两个弹性介质的界面上，即发生向相邻弹性介质深部的折射和向原弹性介质深部的反射。此外，还有一类沿着一个弹性介质表面或两个不同弹性介质的界面上传播的波，称为界面波。如果和弹性介质相邻的是真空或空气，则界面波称为表面波。弹性波绕经障碍物或孔洞时还会发生复杂的绕射现象。

体波  按传播方向和质点振动方向之间的关系，体波可分为：①纵波，又称为胀缩波，在地震学中也称为初波或P波。它的传播方向同质点振动方向一致，波速为式中ρ为弹性介质密度;λ和G为弹性介质的拉梅常数。②横波，又称畸变波或剪切波，在地震学中也称为次波或S波。它的传播方向同质点振动方向相垂直，波速为，小于纵波波速。波传播中所有质点均作水平振动的横波称为SH波；所有质点均作竖直振动的横波称为SV波。横波是偏振波，所谓偏振是指横波的振动矢量垂直于波传播方向但偏于某些方向的现象。纵波只沿波的传播方向振动，故没有偏振。

在弹性介质内，从波源发出的扰动，向四方传播，在某一瞬间，已被扰动部分和未被扰动部分之间的界面称为波面或波阵面。波面呈封闭的曲面。波面为球面的波称为球面波，波面为柱面的波称为柱面波。波面曲率很小的波可近似地看作平面波。

界面波  界面波的一个特征是，质点扰动振幅随着质点离界面距离的增大而迅速衰减，所以界面波实际上只存在于表面或界面附近。常见的界面波有瑞利波、乐甫波和斯通利波三种：

瑞利波  沿着半无限弹性介质自由表面传播的波，因瑞利于1887年首先指出这种波的存在而得名。瑞利波是偏振波，质点在垂直于传播方向的平面内运动。在表层附近，质点的运动轨迹为一个椭圆。在离表面为0.2个波长的深度以下，质点的运动轨迹仍为椭圆，但质点沿椭圆的运动方向与表层相反。在自由表面上，质点沿表面法向的位移大约为切向位移的一倍半。瑞利波的波速与频率无关，只与介质的弹性常数有关，为同介质中横波波速的0.862～0.955倍。但如果在弹性介质表面上面有一层疏松覆盖层，瑞利波便有频散现象，即波速随频率而改变的现象。在地震学中，瑞利波记作R波或L波。瑞利波的发现，对地震科学的发展起了推动作用。在地震过程中，瑞利波按R而衰减，R为波传播的距离。瑞利波在震中附近不出现，在离开震中一段距离后才能形成。从震源射出的纵波形成瑞利波的距离为：

从震源射出的横波形成瑞利波的距离为：

式中c为瑞利波波速；h为震源深度;α和β分别为纵波和横波的波速。

乐甫波  如果弹性介质界面上存在一层等厚度的低波速的弹性覆盖层，则在低波速覆盖层内部和分界面上就会产生SH波，称为乐甫波，因A.E.H.乐甫建立了这种波的数学模型而得名。乐甫波是有频散的波。波长很长的乐甫波的波速与下层弹性介质中的横波波速接近，波长很短的乐甫波的波速与上面低波速覆盖层中的横波波速接近。在有频散时，扰动不是以相速度传播，而是以群速度传播。相速度是指单色波中对应任一振动相位的状态(如波峰)向前传播的速度，而群速度是指各单色波叠加后的调制振幅的传播速度，它也是合成波传播能量的速度。

斯通利波  在两种不同介质的半空间体的交界面上传播的波称为斯通利波，因斯通利首先发现并研究这种波而得名。它是一种波速与两个介质的性质有关的变态瑞利波。斯通利波的存在与介质的弹性拉梅常数和介质密度有关。在两个介质的拉梅常数λ、G和λ、G满足λ/G=λ/G=1的情况下，存在条件如图所示，如果两个介质的密度ρ和ρ之比ρ/ρ和G/G在图示坐标系中对应的点落在曲线A和曲线B之间，斯通利波就存在。在地震学中，理论上已证明斯通利波是存在的，但尚未观测到。

弹性波的反射和折射  弹性波到达界面后，一部分返回到原来的弹性介质内，即发生反射现象；另一部分穿过界面进入相邻的另一弹性介质内，即发生折射现象。在同一弹性介质中，介质本身不均匀引起的弹性波传播方向改变也称为弹性波的折射(若传播方向改变后与原来的传播方向相反则为反射)。纵波入射到平面交界面上会产生一个反射纵波和一个反射横波；横波入射到平面交界面上，也会发生同样的现象。

弹性波的绕射  弹性波在传播过程中遇到障碍物边缘或孔洞时所发生的弯折现象称为波的绕射。障碍物或孔洞越小，波长越长，则绕射现象越显著。绕射现象反映出波的特性。在地震学中，研究震源附近区域内弹性波的传播时需要考虑波的绕射。

弹性波的研究  弹性波传播问题的研究可分为理论研究和实验研究两方面。

理论研究  主要是从波动方程出发进行研究。经典波动方程在直角坐标系中可表示为：

，

式中为拉普拉斯算符；α 和β 分别为纵波波速和横波波速;＝(x，y，z，t)为标量势；ψ=ψ(x，y，z，t)、ψ=ψ(x，y，z，t)、ψ=ψ(x，y，z，t)为矢量势φ(x，y，z，t)的三个分量。ψ、ψ、ψ统称为波函数，它们和同坐标系中的三个位移分量u、v、w的关系为：

上述波动方程是根据下面的假设导出的：①弹性介质中各质点间的相对位移为无穷小量；②介质是完全线弹性的，即应力和应变之间呈均匀线性关系，服从胡克定律；③介质是各向同性的；④不计外力(如重力、体积力、摩擦力等)。

理论上解决弹性波问题就是要在定解条件下解出波函数。波动方程是一个二阶常系数线性偏微分方程，可用线性体系的叠加原理、数学变换和分离变量等解析方法求解。如果问题中的几何形状或介质的性质比较复杂，可利用大型电子计算机进行数值求解。

实验研究  它是理论研究的基础。在电子技术出现以前，介质中弹性波传播的实验主要用于地震波的侦测和声学中可闻频率振动的研究。现代电子技术的发展，推动了弹性波的实验研究。下面是两个最早的而且目前仍普遍使用的实验装置：

①霍普金森压杆 B.霍普金森是最早在实验室条件下应用电子技术研究弹性波传播的学者之一。为了纪念他的工作，把他在实验中所用的试件命名为霍普金森压杆。他通过实验研究炸药爆炸或子弹撞到坚硬表面时，压力随时间变化的规律。霍普金森压杆为一圆柱形钢杆，长约1米，直径为2.5厘米，由四条线挂成水平位置，这些线可以在垂直面内摆动。在杆的一端加上一个短的柱形颗粒称为测时器，而瞬变压力作用在杆的另一端。测时器和杆直径相同，并且是用同一种钢材制造的。当压缩脉冲由一端传至测时器一端时，在测时器的自由端面上反射成拉伸脉冲，使测时器飞离杆端。测出测时器的动量，就可算出压力与时间的关系。

②戴维斯压杆 R.M.戴维斯首先设计了包括一个压杆(后称为戴维斯压杆)的电测实验装置，该装置能连续记录由压力脉冲引起的自由端的纵向位移，并可直接测到位移-时间曲线，再经微分，即可得到脉冲压力-时间曲线。

霍普金森压杆和戴维斯压杆都要满足两个条件：一是压杆内任何点的应力不能超过所用钢材的弹性极限；二是压力变化引起的压缩脉冲的波长同压杆半径相比要足够大。

研究简史  1821年，C.-L.-M.-H.纳维建立了弹性体平衡和运动的一般方程，弹性波的研究随之展开。1829年，S.-D.泊松在研究弹性介质中波的传播问题时，发现在远离波源处有纵波和横波两种类型的波。到1845年，弹性波传播的数学理论已经发展成熟，G.G.斯托克斯证明纵波是胀缩波，1849年又证明横波是畸变波。后来学者们对拉压、扭转和弯曲三种类型的无限长弹性杆中弹性波的传播问题进行了研究，并得到了精确解。瑞利、H.兰姆等人给出了无限平板中的波动方程的解。兰姆在1904年建立了半无限弹性体表面和内部由于扰动线源和点源的作用而引起的波动问题的理论，并得到了问题的解，故该问题称为兰姆问题。在地震学里，兰姆问题应用广泛，但只适用于远场(远离扰动源的地方)。50年代后，弹性波绕射问题的研究取得成果，但主要限于无限弹性介质内球形、圆柱形空腔等方面。不规则孔洞和结构以及半无限介质中波的绕射问题的解析解较难找到，主要是不规则的边界条件很难满足。弹性波在粘弹性介质中传播是一个重要课题，可以用来解释许多地球物理、声学和工程力学现象。复合材料力学的迅速发展，推动了对复合材料中波的传播理论的研究。多孔介质中波的传播理论的研究工作业已开始，它对地球物理学、材料工程、石油勘探等方面有重要实际意义。

在精确理论发展的同时，近似解理论也得到发展。有限差分方法先被用于解决短杆中弹性波的传播问题，后被推广到一些复杂结构中波的传播问题。有限元法近年来逐步用于研究弹性波问题，开始用于分析细杆中弹性波的传播，后用于分析各种结构(柱、板、壳体)中的波的传播以及层状介质、正交异性介质中的波的传播等。非线性弹性波的传播问题的研究也取得初步成果。

参考书目 H.考尔斯基著，王仁等译：《固体中的应力波》，科学出版社，北京，1958。(H.Kolsky， Stress Waves inSolids，ClarendonPress，Oxford，1953.) W.M.Ewing，W.S.Jardetzky and F.Press，Elastic Waves in Layered Media， McGraw-Hill，New York，1957. J. D. Achenbach， Wave Propagation in Elastic Solids，North-Holland Pub. Co.，Amsterdam，1980.