位移法

以广义位移(线位移和角位移)为未知量，求解固体力学问题的一种方法。位移法的思想是法国的C.-L.-M.-H.纳维于1826年提出的。

用位移法求解结构问题，第一步须列出物体内所有节点的全部广义位移。这些广义位移的总数目称为节点位移自由度(又称节点位移可动度)。例如图中的平面刚架有3个节点：点1完全被约束，没有广义位移；点2有一个转动位移；点3有一个转动位移和一个水平方向的位移。因此该刚架的节点位移自由度为3。第二步是将结构的全部广义位移加以约束，所得到的结构体系称为基本体系。在基本体系的一个节点上解除某个广义位移s的约束，此时如果在某个广义位移r的方向上作用一个广义力K，它在s方向上引起的广义位移恰好为一个单位，则K称为刚度系数。r为s时K称为直接刚度系数；r不为s时称为交叉刚度系数。它们可通过结构分析求出。求出各刚度系数后，把外载荷加到基本体系上，就得到用节点未知广义位移表示的位移法平衡方程组。方程数目恰与未知量数目相等，从而可以通过解方程组求出各节点的实际位移，进而可求得全部内力。

通常，用势能原理来建立位移法平衡方程组，具体作法如下：

为系统的总势能，式中x(i=1，2，…，n)为节点未知广义位移;R为载荷引起的第i个节点处的约束反力;d为载荷作用点的位移；K为在载荷作用点处产生单位广义位移所需的广义力；m为载荷个数；n为自由度。根据最小势能原理，真实情况下的结构应满足如下条件：

(i=1，2，…，n)，

由此得到位移法平衡方程组：

或用矩阵表示为：

[K]{x}＋{R}＝0，

式中[K]为刚度矩阵；{x}为广义位移阵列;{R}为载荷阵列。上述方程组是关于n个未知量x(i=1，2，…，n)的n个代数方程组，可解出x(i=1，2，…n)。

用位移法求解连续弹性体时，由于系统可看作是由无穷多个节点组成的，所以系统具有无穷多个节点位移自由度，这就需要无穷多个方程，因此必须用一些近似方程求解。方法之一是将系统化为有限个单元，只研究单元边界处的位移，这就是有限元法。另一方法是假设位移为一级数形式，每项级数为一已知的满足边界条件的函数，其系数为未知常数，代入平衡微分方程后即可求得系数，从而得到位移。

在实际应用中，根据各类结构的特点，位移法已发展成为多种实用计算法，常用的有转角位移法、变形分配法和力矩分配法等。

参考书目 R.V.Southwell，An Introduction to the Theory of Elasticity for Engineers and Physicists，2nd ed.，Oxford Univ.Press，London，1941.