正则变换
由一组正则变量到另一组能保持正则形式不变的变量的变换。设某系统存在着一组广义坐标q，q，…，q和广义动量p，p，…，p，而变量变换式为：
式中t为时间。如果变换式(1)满足
，
而且使系统原来的正则方程
，
变换到以K为哈密顿函数的另一组正则方程
，(i=1，2，…，N) (2)
则式(1)称为正则变换。式(2)中的K(Q，P，t)是新哈密顿函数。
根据正则方程与广义哈密顿原理的等价性，上述要求也可表述为：
(3)
如果上式同时成立，其被积函数应满足
(4)
式中F称为正则变换的“母函数”。由于4N个新老正则变量之间有2N个变换关系式相联系，可在其中选出2N个变量作为独立变量。假定某类正则变换可以选择(q，Q)这2N个变量作为独立变量，则F可表达为(q，Q，t)的函数，并记为F。于是有：
(5)
而
将上式代入(5)中，比较系数得：
，(6)
式中F称为“第一类的母函数”，可以按要求适当选定。F选定后，可自式(6)的第一式解出Q，再自第二式算出P，K可由式(6)的末一式求得。这样求得的Q，P，K一定适合正则方程：
。
在4N个新老正则变量中，如果对2N个独立变量的取法不同，则母函数的形式也不同。常用的母函数有F(q，Q，t)，F(q，P，t)，F(p，Q，t)，F(p，P，t)。它们之间的关系可写为：
施行正则变换的目的是将正则方程变换成较易求解的方程。如选择正则变换，使变换后的新哈密顿函数
，则这种变换后的新广义坐标全部成为可遗坐标。由式(2)得：
，
故Q=α，P=β，
式中α，β分别为积分常数。
假定上述正则变换的母函数为F，根据式(6)的末一式，应该有：
。(7)
将F写成S(q，Q，t)，再把式(6)中的第一式代入式(7)中便得到：
这就是著名的哈密顿－雅可比方程，通过它的全积分可以找到满足上述要求的正则变换。
正则变换的研究在天体力学中有广泛的应用。