线弹性断裂力学

断裂力学的一个重要分支，它用弹性力学的线性理论对裂纹体进行力学分析，并采用由此求得的某些特征参量(如应力强度因子、能量释放率)作为判断裂纹扩展的准则。

早在1921年，英国的A.A.格里菲思就根据裂纹体的应变能，提出了裂纹失稳扩展准则格里菲思准则，它可以解释为什么玻璃实际断裂强度比理论值低得多，由此还可得到裂纹体能量释放率的概念，这一概念后来成为线弹性断裂力学的基本概念之一。1957年，美国的G.R.欧文通过分析裂纹顶端附近区域的应力场，提出应力强度因子的概念，并建立了以应力强度因子为参量的裂纹扩展准则，从而成功地解释了低应力脆断事故。此后不久，又有人应用应力强度因子来处理疲劳裂纹扩展等其他有关裂纹的问题。

按线弹性力学求得的裂纹体的应力和应变通常是有奇异性的，即在裂纹顶端处的应力和应变为无穷大。这在物理上是不合理的。实际上，裂纹顶端附近的应力和应变很大，线弹性力学在裂纹顶端不适用。一般说，这些区域的情况很复杂，很多微观因素(如晶粒大小、位错结构等)对裂纹顶端应力场影响很大。线弹性断裂力学不考虑裂纹顶端的复杂情况，而采用裂纹顶端外部区域的应力状况来表征断裂特性。当外加载荷不大时，裂纹顶端附近一个小区域内的应力和应变的变化并不影响外面大区域内的应力和应变的分布，而且在小区域外围作用的应力、应变场可以由应力强度因子这个参量确定。对于这种载荷作用下裂纹的失稳和扩展，线弹性断裂力学是适用的。

线弹性断裂力学适用的载荷值根据经验可以由下面两个不等式确定：

，

，

式中a为裂纹长度；B为构件厚度；σ为材料的屈服极限(见材料的力学性能)；K为在外载荷作用下，根据线弹性断裂力学计算得的应力强度因子。就是说，由外载荷算得的应力强度因子K要满足这两个不等式。此外，在线弹性断裂力学中一般还要求在载荷下构件整体的响应是线性的。

线弹性断裂力学的几个重要理论成果如下：

①格里菲思能量准则 考虑一个含一长度为a的裂纹的物体(图1)，

物体每单位厚度的总势能为U(a)，它是裂纹长度的函数。当裂纹长度a增加时，总势能减小，可认为外力有使裂纹扩展的趋势。势能随着裂纹扩展的减小率称为裂纹扩展力或应变能释放率，记为G：

。

在外力作用下，裂纹虽有扩张趋势，但当外力没达到一定值时，它并不扩展；仅当外力加到一个临界值时，它才扩展。这是因为，要使裂纹扩展就要增加自由表面，从而会增加自由表面能，这相当于给裂纹扩展增加阻力。仅当有足够的表面能，裂纹才能扩展。设单位面积的表面能为γ，裂纹长度为a，则对于每单位的厚度，裂纹表面能为S=2aγ，表面能是裂纹长度a的函数。用表面能随裂纹长度的变化率可衡量裂纹扩展阻力R，即

。

格里菲思提出的裂纹扩展能量准则是：裂纹扩展的临界条件是裂纹扩展力等于扩展阻力，即G=R。这个准则成功地解释了玻璃的脆断问题，但用于金属并不成功。1949年，英国的E.奥罗万修正了此准则。他除了考虑表面能外，还引进了塑性功。经他修正的准则在一定程度上也能应用于金属。

②应力强度因子准则 这是1957年欧文提出的一个脆性断裂准则。应力强度因子是裂纹顶端附近奇异应力-应变场的一个度量参量，当它达到一个临界值时，裂纹就开始扩展。

设外载荷和结构均以裂纹a为对称面，在裂纹顶端取坐标如图2所示。根据弹性力学的计算，在裂纹顶端附近的应力场可以近似地写成如下形式：

，

式中σ、σ、τ为平面问题中的应力分量；r、θ为极坐标。上式在R很小的情况下，近似程度是很高的。从上式中可以看出：当r→0时，应力无限增大。式中的K与坐标r、θ无关，是结构形式和外载荷等的函数，它是控制裂纹应力场的系数。欧文选用此量作为判断是否断裂的一个参量，称为应力强度因子。于是裂纹扩展的临界条件为K＝K，其中K为材料的平面应变断裂韧度，可由试验测定(见断裂试验)，而K可由弹性力学的方法求得。平面应变断裂韧度是反映物体断裂特性的重要参量，它的测定是断裂力学的基本内容。因为平面应变状态是实际工程结构中最危险的工作状态，所以平面应变断裂韧度是工程安全设计的重要参量。

③复合型断裂准则 在一般情况下，应力场对于裂纹面来说并不是对称分布的。但是，总可以把它分解为对称部分和反对称部分。反对称部分又可以分为面内和面外的(或称反平面的)两部分。根据对称部分的应力场可以定义应力强度因子K；对于反对称的面内和面外两部分的应力场可以定义KⅡ和KⅢ。通常相应于K、KⅡ和KⅢ的裂纹形式分别称为张开型、剪切型和撕开型(见断裂力学)。

复合型断裂就是K和KⅡ(或KⅢ)同时存在的情况下的断裂现象，由于KⅡ(或KⅢ)的存在，即使在线弹性断裂力学适用的范围内，裂纹起始扩展时的K也不等于K。复合型断裂准则就是要寻找K、KⅡ和KⅢ的一个函数关系式f(K，KⅡ，KⅢ)，当这个关系式成立时，裂纹就扩展。在复合型断裂中，裂纹一般并不没着裂纹原来的方向扩展。裂纹扩展的方向和原来裂纹的方向之间的夹角称作断裂角。复合型断裂准则一般还应能够确定出断裂角。目前提出的复合型断裂准则的适用范围还较窄，当K/KⅡ值较大时，理论所得的结果和实验结果比较接近，而当K/KⅡ值较小时，现有理论和实验结果差距较大。

参考书目 E. Orowan，Fracture and Strength of Solids， Report on Progress in Physics，Vol. 12，London，1949. G. R. Irwin，Analysis of Stresses and Strains near the Endof Crack Traversing a Plate， Journal of Applied Mechanics，Vol.24，No.4，1957.